100. Условие полного дифференциала. Формула Ньютона - Лейбница.

Оказывается, что условие (4.15) вполне характеризует дифференциальное выражение

как полный дифференциал некоторой функции двух независимых переменных х и у. Именно, справедлива такая теорема.

Теорема. Для того чтобы дифференциальное выражение было полным дифференциалом функции двух независимых переменных х и у в некоторой области необходимо и достаточно тождественное выполнение условия (4.15) в области При этом предполагается, что функции X и Y в этой области непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка.

Доказательство. Необходимость вытекает сразу из того, что если имеет место равенство

равносильное равенствам:

то, согласно теореме о совпадении вторых смешанных производных (II, 153), будем иметь:

Достаточность может быть доказана так. Раз имеется условие (4.15), то интеграл (4.14) представляет собой при фиксированной начальной точке контура интегрирования функцию конечной точки Р этого контура. Убедимся в том, что функция

как раз и есть та функция, полный дифференциал котрой равен подынтегральному выражению или, что все равно частные производные которой по и по у равны соответственно X и Y. Для этого передвинем конечную точку Р

контура интегрирования в новое положение по направлению оси на такой малый отрезок чтобы прямолинейный отрезок целиком принадлежал области При этом

так как интеграл в правой части имеет одно и то же значение на любой линии, лежащей в области и соединяющей точки Р и то возьмем его по прямолинейному отрезку Вдоль этого отрезка Следовательно,

(теорема о среднем, 1,91); отсюда

и в пределе, при 0, находим:

Аналогично убеждаемся в том, что

Сопоставляя доказанную теорему о полном дифференциале с основной теоремой о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования, дадим иную, во многих отношениях удобную формулировку этой основной теоремы.

Теорема. Для независимости криволинейного интеграла (4.14) от контура интегрирования, принадлежащего односвязной области или, что все равно, для равенства его нулю по любому замкнутому контуру интегрирования, принадлежащему односвязной области необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было в области полным дифференциалом некоторой функции

При этом предполагается, что функции в области непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка.

Если все условия теоремы выполняются, но не во всей заданной односвязной области, а исключая какие-нибудь ее точки («дыры»), то теорема может оказаться неверной: интеграл по замкнутым путям, окружающим «дыры», может и не обращаться в нуль. Объясняется это тем, что функция

может оказаться многозначной в многосвязной области и, значит, ее значение может определяться не только конечной точкой но и тем путем, по которому приходят в эту точку из начальной точки односвязной же области функция всегда однозначна и ее значение определяется только конечной точкой

Например, выражение

в каждой точке двусвязной области (единичный крут без центра) является, как легко проверить, полным дифференциалом функции бы однозначную ветвь от мы ни понимали под этой функцией. Вместе с тем; полагая находим, что

т. е. что интеграл по замкнутому пути равен не нулю, а Этот результат делается сразу понятным, если заметить, что , где — полярный угол точки при каждом полном обходе вокруг начала координат (полюса) этот угол приобретает слагаемое

Если в области D

то функция называется первообразной для выражения и она может быть найдена с точностью да постоянного слагаемого по формуле

где интеграл берется по любому пути, принадлежащему; Области и соединяющему точки Обозначим через какую-нибудь первообразную для выражения Легко показать (см. I, 93), что , значит,

Это есть аналог формулы Ньютона — Лейбница (см. I, 93) для криволинейных интегралов (4.14), если — полный дифференциал.

Обычно для вычисления интеграла (4.14) при выполнений условия принимается в качестве пути интегрирования ломаная со звеньями, параллельными осям При двух звеньях имеем

или

Как видно, такой выбор пути интегрирования; наиболее просто приводит интеграл (4.14) к обыкновенным интегралам. Если выражение

не является полным дифференциалом (условие (4.15) не выполняется), то

есть, уже не функция конечных точек линии а функционал линии по которой берется интеграл. Выражение по-прежнему есть дифференциал величины однако лишь в том смысле, что при перемещении точки Р вдоль дйнной линии I оно служит главной частью приращения линейной относительности При этом не произвольные бесконечно малые приращения переменных х и у, а такие, которые удерживают точку на линии I. Тогда величина есть фактически функция одной независимой переменной. (Иногда встречается символ для обозначения выражения не являющегося полным дифференциалом, а соответствующего только некоторой линии.)