§ 9. ОТОБРАЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛУЧАЕ

Для пространства трех и большего числа измерений отображения изучаются совершенно так же, как и для пространства двух измерений (т.е. для плоскости). Поэтому мы ограничимся изложением только важнейших фактов и только для случая пространства трех измерений. Кроме того, мы опускаем и основные определения, так как они являются дословным повторением (с само собой разумеющимися терминологическими изменениями) соответствующих определений, содержащихся в предыдущих параграфах.

29. Основные понятия. Якобиан.

Возьмем тройку функций

трех независимых переменных и определенных и непрерывно дифференцируемых в некоторой области 6 изменения точки пространства, Снабженного системой декартовых координат Эта тройка функций отображает область 6, вообще говоря, также в область 2 пространства, снабженного системой декартовых координат

Якобиан системы (1.27) равный определителю

может служить для характеристики отображения. Его модуль является коэффициентом искажения отображения в рассматриваемой точке: он показывает с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, во сколько раз изменяется объем бесконечно малой области, содержащей указанную точку, при ее отображении.

Вопрос о знаке якобиана в пространственном случае мы не затрагиваем, хотя и здесь он обусловливает, в известном смысле, направление перемещения отображенной точки.

В частном случае, когда функции линейные:

отображение называется аффинным; оно определено во всем пространстве Якобианом служит просто определитель системы линейных функций (1.29):

Как видно отсюда, якобиан аффинного отображения постоянный, так что коэффициент искажения точки во всем пространстве один и тот же. Только аффинное

соображение преобразует всякую равномерно распределенную систему точек в равномерно распределенную же систему точек. Если же отображение не аффинное, то степень «уплотнения» или «разрежения» при отображении равномерно распределенной системы точек локально характеризуется коэффициентом искажения. Аффинное отображение замечательно еще тем, что всякую сферу отображает в эллипсоид и, в частности, в - сферу (при некоторых определенных соотношениях между коэффициентами ; при этом отношение радиуса сферы-образа к радиусу сферы-прообраза равно корню кубическому из модуля якобиана.

Всякое дифференцируемое отображение является «локально аффинным» и поэтому в бесконечно малой области обладает теми же свойствами, что и аффинное отображение во всем пространстве.

Данное отображение

может быть задано как суперпозиция (произведение) двух (или большего числа) промежуточных отображений:

таким образом, область 6 пространства сначала отображается в область пространства а затем эта последняя область — в область пространства

Отображение (1.27) назыэается вырожденным (или несобственным), если область пространства отображается не в область же пространства, а в какую-нибудь поверхность или в линию (или в точку).