50. Другой вывод.

Так же как и в плоском случае, приведем иной ход рассуждений, минующий предварительное выяснение связи между величинами . Прежде всего, исходя из условий ортогональности (2.20), находим выражение для элемента длины

Достигается это так. Проекции на оси нормального вектора к координатной поверхности в точке т.е. к плоскости равны соответственно , и, значит, считая точку произвольной, получим следующие выражения для направляющих косинусов нормали:

В обозначениях (2.23) эти равенства примут вид:

и аналогично

Теперь возьмем от функции производную по направлению нормали к ее поверхности уровня Имеем (II, 148):

т. е.

Аналогично получим:

Из этих соотношений следует (см. п° 37), что расстояние или между бесконечно близкими координатными поверхностями и (или или равно:

Выпишем подробно выражение, например, для

Так как суть проекции на оси единичного нормального вектора, — проекции же оси вектора касательной к дуге длиной то на основании свойств скалярного произведения заключаем, что есть Па направление нормали того же касательного вектора. Аналогично суть проекции этого вектора на нормали Из этого, а также из взаимной (попарной) ортогональности векторов вытекает, что

С другой стороны, исходя из условий ортогональности (2.21), как и выше (стр. 119) находим другое представление

Сравнивая теперь два полученных выражения для обнаруживаем связь между величинами и Н и независимо от этого находим выражение для элемента объема