107. Плоский случай.

Возьмем основную формулу Грина, в виде (4.13):

и положим

где — функции независимых переменных х и у, дважды непрерывно дифференцируемые в данной области плоскости

Имеем:

и формула Грина (4.13) перепишется так:

где

— лапласиан функции а

- нормальная производная функции на линии (имеется в виду, конечно, внешняя нормаль) (II, 148), т. е. производная от функции по направлению внешней нормали к линии

Если переставить местами функции то будем иметь:

Вычитая это равенство из предыдущего, получим;

Это и есть формула Грана в плоском случае. Она позволяет двойной интеграл от известного «симметричного» дифференциального выражения второго порядка записать в виде криволинейного интеграла по длине от некоторого также «симметричного» дифференциального выражения первого порядка.

Обобщим выведенную формулу Грина, заменив лапласиан линейным дифференциальным выражением второго порядка:

где функции А, В, С, D, Е, F и независимых переменных х и у дважды непрерывно дифференцируемы

в области Выражению отнесем выражение

которое называется ему сопряженным. Раскрывая выражение получим:

Теперь нетрудно проверить, что понятие сопряженности взаимное: выражением, сопряженным выражению будет Если совпадает с то оно называется самосопряженным. Из равенства ясно, что необходимыми и достаточными условиями самосопряженности выражения служат равенства:

Значит, общий вид самосопряженного дифференциального выражения для двух независимых переменных таков:

При выражение обращается в лапласиан .

Желая обобщить формулу Грина (4.29), найдем интеграл

для самосопряженного выражения

(кликните для просмотра скана)

Итак,

где и определяются по формулам (4.30) и (4.31). Это — обобщенная формула Грина в плоском случае. При из нее получается формула Грина (4.29).