83. Несобственные интегралы.

Данное выше определение понятия интеграла по мере области подвергается распространению на случаи бесконечной области интегрирования Е и разрывной в области Е подынтегральной функции

1) Пусть в области Е, простирающейся в бесконечность, задана непрерывная функция Возьмем интеграл от этой функции по какой-нибудь конечной области целиком лежащей в области Е:

и будем расширять по произвольному закону область К так, чтобы в нее вошла и осталась в ней любая заданная точка области Е (что записывают так: ), если при этом «исчерпывании» области Е существует предел интеграла то он и принимается в качестве интеграла от функции по области Е. Этот интеграл называется несобственным в отличие от собственного интеграла, относящегося к конечной области интегрирования и к непрерывной функции. Несобственный интеграл обозначается так же, как и собственный. Значит, по определению:

Может случиться, что при произвольном стремлении области К к области Е интеграл предела не имеет; тогда говорят, что несобственный интеграл по области Е не существует. Но при этом интеграл может и стремиться к пределу, если область Е «исчерпывается» конечными областями К по какому-нибудь определенному закону. Обычно в качестве специального закона берется закон, когда областью К служит область, принадлежащая совместно области Е и — в зависимости от числа измерений области Е — или интервалу, или кругу, или шару с центром в фиксированной точке. Предел, к которому стремся интеграл при этом частном способе

«исчерпывания» бесконечной области Е, называется главным значением (несобственного) интеграла от функции по области Е. Итак, несобственный интеграл может не существовать (или, как еще говорят, расходиться), но иметь главное значение. (Разумеется, если интеграл существует, то существует и главное значение, равное ему.) В частности,

2) Пусть в конечной области Е дана функция непрерывная всюду, кроме точки этой области; в точке функция претерпевает бесконечный разрыв. Возьмем интеграл от функции по области К, получающейся из области Е исключением из нее какой-нибудь области, содержащей точку (функция в области К непрерывна). Будем сжимать по произвольному закону эту исключаемую область, заставляя ее диаметр стремиться к нулю; тогда область К будет неограниченно -черпывать» область и если при этом существует предел интеграла то он и принимается в качестве интеграла от функции по области Е. Этот интеграл называется несобственным. Обозначения сохраняются прежние. Значит, по определению:

Пример. Рассмотрим интеграл Гаусса (см. п°81):

в случае, когда начало координат лежит на поверхности Интеграл при этом будет несобственным. Из рассуждений в ясно, что если поверхность имеет в начале координат касательную плоскость, то интеграл Гаусса сходится, его значение О не зависит от вида поверхности и равно площади единичной полусферы:

В рассматриваемом случае, так же как и в случае 1, может быть введено понятие главного значения. Именно, главным значением (несобственного) интеграла от функции по области Е, в которой есть одна точка бесконечного разрыва функции, называется предел интеграла когда областью К является область, получающаяся из области Е исключением из нее (в зависимости от числа измерений области Е) или интервала, или круга, или шара с центром в точке

Итак, в случае 2) несобственный интеграл также может не существовать (расходиться), но иметь главное значение. (Разумеется, если интеграл существует, то существует и главное значение, равное ему.)

В частности,

где есть точка бесконечного разрыва функции

Читатель без труда сам определит несобственный интеграл по конечной или по бесконечной области, в которой есть конечное число точек бесконечного разрыва подынтегральной функции.

Заметим, что понятия несобственных двойных интегралов и интегралов по площади поверхности определяются и в том случае, когда точки бесконечного разрыва подынтегральной функции образуют конечное число линий; аналогично понятие несобственного тройного интеграла определяется и в том случае, когда точки бесконечного разрыва образуют конечное число линий и поверхностей.

Несобственные интегралы обладают, очевидно, всеми теми свойствами собственных интегралов, которые сохраняются при соответствующем предельном переходе.