§ 9. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ ВЫРОЖДЕНИЯ

58. Общие эллипсоидальные координаты.

Криволинейные координаты в пространстве и связанные с декартовыми координатами и отношениями:

называются эллипсоидальными при этом заданные постоянные считаем подчиненными условиям:

а координаты — принадлежащими соответственно интервалам т. е.

Следовательно, всегда

(черт, 24).

Черт. 24.

Координатными поверхностями служат: эллипсоид, однополостиый гиперболоид и двуполостный гиперболоид с центрами в начале координат, для которых координатные плоскости в системе являются плоскостями симметрии. Главные сечения (т. е. сечения плоскостями координат) всех этих поверхностей имеют общие фокусы, и поэтому можно сказать, что координатными поверхностями в системе эллипсоидальных коордйнат служат «канонически расположенные» софокусные эллипсоиды, однополостные и двуполостные гиперболоиды (черт. 25). Координатные

Черт. 25,

поверхности софокусны основному эллипсоиду

поэтому координаты и называются эллипсоидальными.

Докажем эти предложения. Пусть тогда

Убедимся в том, что правая часть равна 1, т. е. что числитель дроби в правой части равен знаменателю. Это можно сделать прямым путем, произведя указанные действия, но, проще поступить так: прежде всего показываем, что числитель — обозначим его через М — не зависит от для чего берем производную по

она должна равняться нулю. Это также легко проверить непосредственно, но если взять от производную по

то сразу видно, что значит, не зависит от Для того чтобы вычислить эту константу, достаточно в положить равным любому числу, например нулю: Тогда

а это уж совсем легко вычислить: действительно равно нулю. Следовательно, не зависит от Так как и входят в выражение совершено одинаково, то заключаем, что не зависит и от поэтому мы найдем значение. если придадим и любыег по нашему выбору, значения Удобно положить, например,

при этом первых два слагаемых в М обращаются в нуль, а третье — в знаменатель рассматриваемой дроби, Итак,

Это является каноническим уравнением эллипсоида с полуосями . С увеличением до переменный эллипсоид один выметет все пространство

Если то, рассуждая в точности, как в случае и получим:

или

т. е. каноническое уравнение однополостного гиперболоида (ибо ) с полуосями

С увеличением переменный гиперболоид один раз выметет все пространство

Если то же образом находим:

или

т. е. каноническое уравнение двуполостного гиперболоида (ибо ) с полуосями . С увеличением от до переменный гиперболоид один раз выметет все пространство

Теперь нетрудно обнаружить, что фокусы эллипсов и гипербол, получающихся в главных сечениях координатных поверхностей Совпадает с фокусами Главный сечений основного эллипсоида

Разумеется, данная система эллипсоидальных координат (2.42) определяется заданием параметров (подчиненных условию )

Из рассмотрения координатных поверхностей и непосредственно из формул (2.42) видно, что каждой тройке координат и соответствует восемь точек по одной в каждом октанте, — симметричных друг с другом относительно плоскостей координат. Поэтому для гомеоморфизма необходимо ограничиться, во всяком случае, одним из октантов пространства например первым; Для утверждения, что этот октант, а не какая-нибудь его часть, является областью гбмеоморфизмэ системы эллипсоидальных координат, нужно еще доказать, что каждой точке при соответствует одна тройка чисел причем — Докажем это.

Из системы равенств (2.42), связывающих между собой декартовы и эллипсоидальные координаты, мы получили систему равенств. которую можно записать так:

Нетрудно убедиться, что и обратно, из трех равенств вытекает система (2.42). Следовательно, равенства (2.42) и эквивалентны.

Нам остается показать, что при фиксированных уравнение относительно параметра

имеет три действительных корня причем Но это так и есть в силу следующего соображения. Функция

в каждом из трех открытых интервалов является непрерывной функцией параметра и при стремлении к граничным точкам интервала имеет противоположные знаки. Например, если то (вследствие того, что ) а если (вследствие того, что ) значит, обращается, по меньшей мере один раз, в нуль внутри интервала То же самое имеет место в интервалах Из этого вытекает, что в каждом Из трех указанных интервалов находится точно один корень уравнения ибо корнями этого уравнения являются корни уравнения а оно третьей степени и, сталоыть, имеет ровно три корня. Полагая мы находим ту единственную тройку эллипсоидальных координат, которая соответствует заданной точке первого октанта.

Система (2.42) гомеоморфно отображает каждый октант пространства в бесконечный прямоугольный параллелепипед в пространстве ограниченный плоскостями: Мы не будем задерживаться здесь на рассмотрении характера отображения, в частности на том, как полуплоскости системы координат отображаются на границу указанного параллелепипеда в пространстве

В отличие от рассмотренных выше криволинейных координат в пространстве (декартовых, цилиндрических, сферических) эллипсоидальные координаты в общем случае не имеют простой геометрической интерпретации. Эллипсоидальные координаты иногда обозначаются через

Докажем теперь аналитически, что система эллипсоидальных координат ортогональная; для этого проверим справедливость критерия (2.21). Так как (см. уравнения (2.42)):

то

откуда

точно так же

Следовательно,

Легко непосредственно (а также с помощью приема, уже употребленного выше на стр. 146) подсчитать, что выражение в квадратных скобках равно нулю. Аналогично доказывается, что и

Найдем величины для эллипсоидальных координат, Имеем:

отсюда

Подобно этому находим:

Значит,

Здесь также можно было бы при помощи прямых вычислений (т. е. при помощи приведения к общему знаменателю, раскрытия скобок в числителе и т. д.) найти простое выражение для суммы в квадратных скобках. Но лучше прибегнуть к методу неопределенных коэффициентов. Именно,

заметив, что слагаемые этой суммы являются простейшими рациональными дробями относительно и, запишем (I, 99):

где

— подлежащие отысканию константы (относительно и). Освобождаемся от знаменателя:

Полагая здесь находим:

точно так же

Из последних трех равенств видно, что Итак, получаем:

Аналогично

и, значит,

Далее, находим выражения для