39. Полярные координаты.

Полярными координатами на плоскости называются величины и и через которые декартовы прямоугольные координаты выражаются так:

причем

Координатными линиями служат: концентрические окружности с центром в начале координат и полупрямые, исходящие из начала координат (черт. 12). Действительно, если то, исключая из двух равенств (2.12), получим:

т. е. уравнение окружности с центром в точке с радиусом . С непрерывным увеличением от нуля до переменная окружность один раз выметет всю плоскость, т. е. эта окружность один раз пройдет через каждую, точку плоскости. Если то два равенства

определяют луч, исходящий из точки и наклонения к оси под углом его обычное уравнение можно записать в форме . С непрерывным увеличением от 0 до (исключая переменный луч один раз выметет всю плоскость но через точку будет проходить всякий луч. Таким образом, в системе полярных координат каждой точке плоскости лишенной точки , соответствует единственная пара чисел ее полярных координат, и обратно. В точке первая полярная координата равна нулю, но вторая может принять любое значение из интервала Начало координат является особой точкой для системы полярных координат.

Черт. 12.

Полярные координаты имеют, как известно, такой простой геометрический смысл: если положительную полуось принять за ось, от которой отсчитываются углы (она называется полярной осью, а ее начальная точка О — полюсом), то координату и точки Р можно считать длиной (модулем) радиуса-вектора (она называется полярным радиусом точки Р), а координату — углом между радиусом-вектором и полярной осью (она называется полярным углом точки Р).

Полярная координата и часто обозначается через а координата -через Система полярных координат вследствие своего удобства во многих отношениях употребляется очень часто.

Что касается обращения системы равенств (2.12), то необходимо сказать следующее: первая координата и (полярный радиус) как функция точки очевидно, непрерывна на всей плоскости и выражается очень просто через декартовы координаты х и у точки Р;

вторая координата (полярный угол) как функция точки Р на всей плоскости разрывна на положительной полуоси при переходе точки через эту полуось функция получает приращение, равное

Координата как функция от всей плоскости белочки не выражается никакой элементарной функцией. Для обозначения этой функции вводится символ: Функцию (полярный угол) можно определить так:

как обычно, есть главное значение

Функция определена и однозначна во всей плоскости за исключением точки , где она не определена; эта функция непрерывна всюду в плоскости, кроме положительной полуоси где она претерпевает конечный разрыв. Ясно, что

Итак, системой функций, выражающих полярные координаты через декартовы, служит система

Система (2.12) или (2.12) гомеоморфно отображает всю плоскость из которой удалена положительная полуось в область плоскости являющуюся бесконечной полуполосой, ограниченной полупрямыми:

При этом точки положительной полуоси отображаются в точки полуосей если подходить к точке положительной полуоси Ох сверху (т. е. при )

то в плоскости образ переменной точки будет стремиться к точке полуоси а если подходить к той же точке снизу (т. е. при у < 0), то соответствующая точка плоскости будет приближаться к точке полуоси

Система полярных координат является прямоугольной (ортогональной). Это видно и непосредственно и легко проверяется на основании условий (2.4) или (2.5). Имеем при

и значит. так же

Отображение (2.12), (2.12) являет собой простой пример нерегулярного отображения с ортогональной изотермической сетью.

Вычислим величины и для полярных координат:

и, значит,

Поэтому имеем:

(I, 118; II, 174). Мы видим, что элемент площади в полярных координатах равен умноженному на элемент меры угла, под которым видна из начала координат линия, ограничивающая область. Элемент можно рассматривать как меру дуги единичной окружности, в которую центрально (из начала координат) проектируется ограничивающая линия.