89. Тройной интеграл.

Рассмотрим теперь приведение тройного интеграла к трехкратному для важнейших систем криволинейных координат в пространстве и соответствующие примеры преобразований интегралов от декартовых координат к криволинейным.

I. Цилиндрические координаты. Пусть дан интеграл

где — цилиндрические координаты (п° 54) точки пространственной области 6.

Вычисление этого интеграла может быть произведено посредством трех однократных интегрирований по по и по Если область 6 обладает тем свойством, что любая прямая, параллельная оси (координатная линия ), имеет не больше одной точки «входа» в область 6 (и, значит, не больше одной точки «выхода» из нее), то

где — аппликаты соответственно точек «входа» и «выхода» из области 6 прямой линии , а А — область изменения координат в области 6, которая будет такой же, как и для ортогональной проекции области 6 на плоскость Огср. После интегрирования по мы получаем двойной интеграл в полярных координатах по области А, вычисление которого сводится к двум интегрированиям пот и по (см. выше). (Другой порядок интегрирования при нахождении интеграла не употребляется.) Переход в интеграле от декартовых координат к цилиндрическим координатам вообще говоря, удобен тогда, когда подынтегральная функция относительно координат х и у хорошо преобразуется к полярным координатам или когда уравнение границы области А — проекции области 6 на плоскость — проще в полярных, чем в декартовых координатах.

II. Сферические координаты. Пусть дан интеграл

где сферические (полярные) координаты точки пространственной области 6.

Вычисление этого тройного интеграла также производится посредством трех однократных интегрирований по по и по 0. Обычно интегрируют сначала по а затем по . При этом следует различать, как и для плоских полярных координат, два случая: а) полюс системы лежит вне области 6 (или на ее границе); б) полюс системы лежит в области 6.

а) Если область 6 обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия имеет не больше одной точки «входа» в область 6 (и, значит, не больше одной точки «выхода» из нее), то

где — сферические (полярные) радиусы соответственно точек «входа» и «выхода» из области 6 луча — область изменения координат и 0 в области 6. Под можно понимать часть единичной сферы, являющейся центральной проекцией обла-. (с центром проекции в полюсе системы). Интегрируя дальше по находим пределы интегрирования как значения этой координаты для точек «входа» в область и «выхода» из нее параллели наконец, заключительное интегрирование по 0 имеет своими пределами — границы наибольшего изменения этой координаты в данной пространственной области или, что все равно, в данной сферической области Таким образом,

Выделим в заданном подынтегральном выражении множитель ; будем иметь:

а так как есть элемент меры телесного угла поверхности, ограничивающей область 6 (п° 56), то можно записать:

б) Если область 6 обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия ) имеет одну точку «выхода» из области 6 (т. е. если область 6 — звездная относительно полюса), то

где — сферический (полярный) радиус точки «выхода» из области 6 линии — сферическое (полярное) уравнение поверхности — границы области 6).

Пример 1. Пусть

где — шар, ограниченный сферой (сфера с центром в точке (0, 0, а) радиуса а, проходящая через начало координат), а функция непрерывна при Вычислить этот интеграл можно с помощью, например, такого трехкратного интеграла:

Какой-нибудь иной порядок интегрирования приведет к не менее сложному трехкратному интегралу. Гораздо проще выглядят и тройной и соответствующий трехкратный интегралы, если перейти к сферическим координатам:

причем в системе сферических координат уравнение сферы, ограничивающей шар будет Значит,

Пример 2. Пусть

где — все пространство без какой-нибудь окрестности точки Перейдем к сферическим координатам:

где — радиус сферы, ограничивающей исключаемую окрестность начала ксординат. Отсюда видно, что данный несобственный интеграл (в смысле главного значения) существует, если (и тогда он равен ); он не сущеетвует, если (То же самое имеет место и для интеграла

распространенного на все пространство без какой-нибудь области, содержащей точку ) Легко доказать, что полученные результаты относятся вообще к рассматриваемому несобственному интегралу, а не только к главному его значению.

Пример 3. Пусть

где — какая-нибудь окрестность точки (0, 0, 0) (эта окрестность, ограничен сферой радиуса Переходя к сферическим координатам, найдем:

Отсюда видно, что данный несобственный интеграл (в смысле главного значения) существует, если тогда он равен он не существует, если . (То же самое имеет место и для интеграла

взятого по какой-нибудь конечной области, содержащей точку ) Легко доказать, что полученные результаты относятся вообще к рассматриваемому несобственному интегралу, а не только к главному его значению.

III. Другие координаты. Вполне аналогично приводится тройной интеграл к трехкратным в случае других криволинейных координат. Если же система координат не имеет простого геометрического смысла, то при замене переменных в тройном интеграле удобнее пользоваться первой интерпретацией формул преобразования, чем второй, т. е. удобнее представлять преобразованный интеграл в виде (4.6), чем в виде (4.7), и, значит, сохранять систему декартовых координат, но, в другой, отображенной, области.

Пример 4. Пусть

где — тетраэдр, ограниченный плоскостями — непрерывные функции своих аргументов. Имеем в данных координатах:

Однако заменим переменные интегрирования новыми перемен ными в соответствии с формулами:

Обращая эти равенства, находим:

Отсюда видно, что формулы преобразования гомеоморфно отображают все пространство лишенное плоскостей на пространство причем тетраэдр 6 отображается в куб ограниченный плоскостями (Заметим, что точке тетраэдра 6 соответствует квадрат

Так как

то

и, значит,

Хотя подынтегральное выражение заметно не упростилось, но зато область интегрирования в новых координатах оказалась просто кубом так что преобразованный тройной интеграл привелся к трехкратному интегралу с постоянными пределами.

Если

то

т. е.

Эта формула называется формулой Лиувилля . Б частности, при находим значение так

называемого интеграла Дирихле:

Если то имеем: