§ 7. СВОЙСТВА ЯКОБИАНА

Обратимся теперь к изучению связи между свойствами якобиана системы функций и свойствами осуществляемого ею отображения. Мы увидим, что свойства якобиана являются естественным распространением свойств обычной

производной функции одной независимой переменной. Эти свойства совершенно аналогичны соответствующим свойствам определителя системы линейных функций, задающих аффинное отображение (который и служит якобианом этого отображения).

24. Обращение. Локальный гомеоморфизм.

Убедимся прежде всего в том, что

если якобиан отображения не равен нулю в точке

то отображение в этой точке гомеоморфно.

Это предложение является теоремой об однозначной и непрерывной обратимости системы функций (1.6) в точке . (См. в п°12 аналогичное свойство в случае аффинных отображений.)

Теорема. Пусть дана система непрерывно дифференцируемых в окрестности точки функций Если

и

то существует такая окрестность точки и такие непрерывно дифференцируемые в этой окрестности функции что

и

Доказательство. Так как, по условию,

то, по крайней мере, одна из частных производных от функции пусть не равна нулю:

Рассмотрим функцию трех независимых переменных

Эта функция непрерывно дифференцируема в окрестности точки причем а производная не равна нулю в точке поэтому в силу теоремы о неявных функциях (II, 151) уравнение в некоторой окрестности точки определяет как непрерывно дифференцируемую функцию

причем Следовательно, в указанной окрестности точки имеем:

Убедимся, что из этого равенства можно выразить у как однозначную и непрерывно дифференцируемую функцию Для этого заметим, что

означает здесь полную частную производную по частную производную по у как по второму аргументу функции

Подставляя сюда выражение для находимое из равенства а именно

получаем:

что не равно нулю по условию, а из этого, в силу той же теоремы о неявных функциях, следует, что равенство (1.22) определяет у в некоторой окрестности точки как непрерывно дифференцируемую функцию

причем Заменяя в равенстве переменную у ее выражением через и и приходим к функции, непрерывно дифференцируемой в окрестности точки

причем Теорема доказана.

Итак, мы видим, что локальные свойства отображений в плоском и в линейном случаях совершенно аналогичны. Роль производной отображающей функции в линейном случае выполняет в плоском случае якобиан отображающей системы функций. Однако существенно различны в этих двух случаях некоторые свойства, относящиеся ко всей области (глобальные свойства). Так, в линейном случае имеет место свойство из гомеоморфизма в каждой точке интервала следует гомеоморфизм во всем интервале. Это свойство уже несправедливо в плоском случае: из гомеоморфизма в каждой точке области еще не следует гомеоморфизм во всей области. Вот пример:

Для этого отображения имеем:

Так как для любого значения то данное отображение, в силу доказанной теоремы, гомеоморфно в каждой точке плоскости. Вместе с тем оно не гомеоморфно во всякой области плоскости содержащей вместе с точками и точки — целое число), ибо образами всех этих точек служит одна и та же точка плоскости