78. Преобразования «дифференциальных параметров».

Рассмотрим преобразования к новым («ортогональным») независимым переменным двух дифференциальных выражений, играющих важную роль во многих вопросах анализа:

где — функция независимых переменных они называются иногда дифференциальными

параметрами Ламе для функции соответственно первого и второго порядков и обозначаются через

Заметим, что есть не что иное, как (см. п° 47), а - так называемый лапласиан для функции который часто, если это не может привести к путанице, обозначается символом А без индекса 2, т. е.

I. Преобразуем параметр первого порядка

к новым независимым переменным и при условии, что они образуют систему криволинейных ортогональных координат:

причем

(п°46). В соответствии с равенствами (3.25) имеем:

раскрывая квадраты якобианов в числителе и принимая во внимание условия ортогональности, после ряда выкладок находим:

где -коэффициенты Лане данной системы координат Квадрат же якобиана в знаменателе в случае

ортогональности системы, как известно (п°49), равен Поэтому

где — дифференциальные параметры первого порядка, и так как то

В частности, если (и, значит, ), то остается инвариантным при преобразовании (3.28):

Это будет, например, при простом передвижении системы декартовых прямоугольных координат, когда (см. п°53)

причем

Если и — цилиндрические координаты, то (см. и

т. е.

в обычных обозначениях; если сферические координаты, то (см. п°55)

и

т.е.

в обычных обозначениях.

II. Преобразуем параметр второго порядка (лапласиан функции

к тем же переменным и что и в I. Для этого сложим три равенства (3.26); получаем

Так как система координат предположена ортогональной, то (см. п°46) остальные невыписанные члены в сумме равны нулю; кроме того,

и, значит, нам остается найти выражения через и только для этой целью в

тождестве положим последовательно тогда получим:

Из этих трех равенств найдем проще всего это сделать так: умножим первое равенство на второе — на третье — на и сложим:

Но мы имеем:

вследствие ортогональности системы (3.28);

что проверяется прямым дифференцированием

что проверяется прямым дифференцированием сначала

а затем по

что проверяется прямым дифференцированием сначала

по а затем Подставляя в равенство находим:

Совершенно аналогично:

Заменяя в равенстве получим:

что можно переписать так:

или еще короче и обозримее:

Это и есть то выражение для лапласиана в криволинейных ортогональных координатах, которое мы хотели вывести. Как было уже упомянуто, впервые оно было найдено Ламе.

В частности, если то остается инвариантным при преобразовании (3.28):

Это будет, например, при простом передвижении системы декартовых прямоугольных координат.