6. Направление перемещения. Обратное отображение.

Покажем теперь, что знак производной отображающей функции обусловливает направление перемещения точки — образа перемещающейся точки Р. Именно, если , то при перемещении точки в некоторой окрестности точки в положительном направлении — слева направо — точка перемещается тоже в положительном направлении, т. е. слева направо; если же то точка перемещается в обратном — отрицательном направлении, т. е. справа налево.

В самом деле, в силу предположенной непрерывности существует окрестность точки в которой производная сохраняет положительный знак в первом случае и отрицательный — во втором. Но тогда функция в этой окрестности монотонно возрастает или (соответственно) монотонно убывает (I, 67) и, значит, точка перемещается слева направо в первом случае, и справа налево — во втором.

Монотонность же функции обеспечивает, как известно (1,20), однозначную (и непрерывную) ее обратимость.

Итак, если то отображение в точке гомеоморфно, т. е. если то существуют такая окрестность точки и такая непрерывная в ней функция что

Совершенно такое же рассуждение показывает, что если не меняет знака в целом интервале, то в этом интервале отображение гомеоморфно, причем если то направления перемещения точек Р и — образа и прообраза — одинаковы, а если то эти направления противоположны.

Этот вывод остается справедливым, как легко убедиться, и при более широком предположении что производная не меняя в интервале знака, обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала.

Отсюда следует интересное замечание: из локального гомеоморфизма отображения интервала в интервал вытекает гомеоморфизм в целом интервале.

Полученные результаты становятся очень наглядными, если заметить, что в бесконечно малой окрестности точки с точностью до бесконечно малых величин высших порядков дифференцируемое отображение является аффинным. Действительно, мы имеем:

где — величина высшего порядка малости, чем Отбрасывая здесь и сравнивая полученную линейную функцию с общей формой аффинного отображения (1.2), находим:

Отображение обратное непрерывно дифференцируемому гомеоморфному отображению также непрерывно дифференцируемо, за исключением точек соответствующих точкам в которых ниже); при этом, предполагая, что , мы имеем (I, 49):

т. е.

Таким образом, непрерывная дифференцируемость обратного отображения может быть нарушена только в точках, соответствующих точкам, в которых коэффициент искажения данного отображения равен нулю (хотя гомеоморфизм может сохраняться; пример: при

Соотношение вполне ясно с точки зрения отображений: при переходе с оси на ось коэффициент искажения должен быть, разумеется, обратным коэффициенту искажения при переходе с оси на ось а знаки должны быть одинаковыми.