66. Биполярные координаты.

Криволинейные координаты через которые декартовы прямоугольные координаты выражаются при помощи соотношений:

причем называются биполярными (в пространстве). Как видно из сравнения соотношений (2.53) и (2.52), пространственные биполярные координаты родственны тороидальным координатам (см. п°65). Исключение из трех равенств (2.53) каждых двух из координат показывает, что координатными поверхностями служат:

— поверхность вращения:

полученная от вращения окружности вокруг оси (окружность пересекает ось Oz), ибо

— полуплоскость:

проходящая через ось и образующая угол с положительной полуплоскостью

— сфера:

с центром в точке и радиусом, равным

Из уравнений (2.53) видно, что каждой тройке биполярных координат соответствует единственная тройка декартовых

координат Решая же эти уравнения (или, что все равно, уравнения координатных поверхностей) относительно обнаружим, что и каждой тройке декартовых координат (кроме тех, у которых соответствует единственная тройка координат подчиненных указанным выше условиям. Отсюда следует, что все пространство лишенное положительной полуплоскости гомеоморфно отображается системой функций (2.53) в область пространства заданную неравенствами: стоящий прямоугольный параллелепипед). Особой линией для системы биполярных координат служит ось в ее точках координата остается неопределенной.

Проверив выполнение условий (2.21), заключаем, что система биполярных координат ортогональная. Находим выражения для величин