93, Интеграл как функционал. Дополнительные замечания.

Если подынтегральная функция определена или рассматривается нами как определенная только на некоторой данной линии то криволинейный интеграл (по длине или координате), взятый вдоль дает, в сущности говоря, лишь удобную форму записи одного или нескольких обыкновенных (ординарных) интегралов. Совсем иное дело, когда функция определена (и непрерывна) в области, в которой берутся различные линии в качестве путей интегрирования. Тогда криволинейный интеграл (как по длине, так и по координате)

принимает сйои значения в зависимости от контура интегрирования. Каждому такому контуру соответствует определенное значение интеграла; говорят, что криволинейный интеграл является функционалом в соответствующей области.

Вообще, если каждой рассматриваемой линии в данной области (т. е. функции или системе функций) соответствует определенное значение некоторой ее личины, то эта величина называется функционалом (от линии).

Например, если движение происходит по фиксированной линии под действием данной силы, то произведенную при этом работу удобно выразить одним криволинейным интегралом (см. ниже), однако он ничего существенно нового по сравнению с обыкновенными интегралами нам не дает. Если же рассматривать поле сил, в котором движение может происходить по различным линиям, то работу поля сил при этом мы можем также выразить одним криволинейным

интегралом, но уже зависящим от пути, на котором производится эта работа. Следозательно, работа является функционалом в данном поле. Из этого простейшего примера видно, насколько важно изучение поведения криволинейного интеграла как функционала, т. е. изучение изменений его в зависимости от изменений контура интегрирования. Такое изучение криволинейного интеграла чаще всего опирается на формулу Стокса, которая в частном случае, когда контур интегрирования лежит в координатной плоскости, обращается в известную формулу Грина (см. ниже §§ 6, 7).

Наконец, упомянем, что криволинейные интегралы по координате чаще всего употребляются в виде составных интегралов, являющихся суммой интегралов, взятых по одной и той же линии, но по различным координатам. Так, интегралы

где — заданные функции точки линии вообще говоря,

используются совместно в виде суммы; она и записывается с помощью одного символа интеграла:

Само собой очевидно, что изложенные выше свойства и особенности криволинейных интегралов по координате относятся в равной степени и к составным криволинейным интегралам.

Большая роль составных криволинейных интегралов видна хотя бы из следующих простых примеров.

1. Если — проекции соответственно на оси координат силы действующей в точке то работа силы вдоль линии выражается интегралом (II, 184):

2. Если проекции соответственно на оси координат вектора скорости точки текущей жидкости, то интегралы типа

выражают количество протекающей жидкости. Такое применение криволинейных интегралов чрезвычайно важно в гидромеханике, а гидромеханическая иллюстрация криволинейных интегралов в высшей степени удобна и наглядна. Мы, однако, не будем здесь прибегать к этой иллюстрации, так как ее наиболее естественное место — в теории векторного поля.