36. Элементы длины и площади.

Определение. Элементом (дифференциалом) длины плоской линии в ее точке называется длина отрезка касательной к линии в точке причем этот отрезок соответствует бесконечно малой части линии содержащей точку (Соответствующие друг другу отрезок касательной и часть линии ортогонально проектируются в один и тот же отрезок оси или

Теорема. Для элемента длины в системе криволинейных ортогональных координат на плоскости, имеем выражения:

Доказательство. Мы можем исходить из выражения для элемента длины в декартовых координатах (1,57):

где -параметр линии или криволинейная координата ее точек. Так как

то

что для ортогональной системы, в силу равенства (2.5) и принятых обозначений (2.6) и (2.6), имеет вид:

Для элементов длины координатных линий получаем соответственно выражения:

Определение. Элементом (дифференциалом) площади области в ее точке в системе криволинейных ортогональных координат называется площадь прямоугольника, стороны которого равны элементам исходящих из точки сторон криволинейного четырехугольника, ограниченного координатными линиями (черт. 10).

Теорема. Для элемента площади в системе криволинейных ортогональных координат на плоскости имеем выражения:

Доказательство. Мы найдем если примем указанный в определении четырехугольник за прямоугольник со сторонами При этом получим:

Черт. 10.

Впрочем, нетрудно найти выражение для и иначе, без предварительного отыскания элемента длины. Рассмотренный бесконечно малый четырехугольник в плоскости является образом бесконечно малого прямоугольника в плоскости ограниченного прямыми: Значит (см. n° 20), полагая точку произвольной, найдем:

где

Для вычисления этого якобиана возьмем его квадрат и представим по известным правилам:

В силу условий ортогональности имеем:

т.е. а это и приводит к формуле (2.9).