28. Зависимость функций.

Определение. Две функции связанные между собой дифференцируемым соотношением (1.25):

в котором не участвуют переменные х и у, называются зависимыми.

Доказанная в п° 27 теорема поэтому может быть высказана в таких словах:

Необходимым и достаточным условием зависимости в некоторой области двух функций от двух независимых переменных является тождественное в данной области равенство нулю якобиана системы этих функций.

Пример. Якобиан системы функций

как легко подсчитать, при любых значениях х и у равен нулю. Значит, и и зависимые функции; действительно, мы имеем:

Таким образом, данное отображение вырожденное: вся плоскость преобразуется в параболу в плоскости

Если отображение вырожденное, то необратимо, т. е. не существует отображения, обратного данному. Другими словами, из данной системы двух функций и и от независимых переменных х и у в этом случае нельзя выразить независимые переменные х и у через функции и Любые попытки разрешить систему относительно х и у приведут к соотношению между и и без участия х и у.

Заметим, что если якобиан равен нулю лишь в изолиро: ванной точке, то заранее ничего нельзя сказать об обратимости (гомеоморфности) отображения: оно Может быть обратимо, а может быть и не обратимо. Например, отображение:

обратимо во всей плоскости (и в окрестности точки

хотя якобиан, равный обращается в нуль в точке (он равен нулю и на осях Ох и Оу). Это обратное отображение однозначно и непрерывно во всей плоскости, но не дифференцируемо в точке (оно не дифференцируемо и на осях которые соответствуют осям

С другой стороны, отображение (см. стр. 27)

якобиан которого, равный также обращается в нуль в точке однозначно необратимо в окрестности этой точки.

Если якобиан системы не обращается тождественно в нуль, то функции независимы, т. е. не существует соотношения вида: между в котором не участвовали бы и независимые переменные х и у. Кроме того, как нам уже известно (п° 27), отображение будет невырожденным и данная область отображается в область же, состоящую, быть может, из нескольких плоских «листов».

В заключение заметим, что с точки зрения рассматриваемых нами «плоских отображений» одна функция двух независимых переменных, например определяет всегда «вырожденное отображение»: область плоскости преобразуется в интервал оси, и ясно, что якобиан в этом случае равен тождественно нулю, ибо следует считать, что

С другой стороны, систему трех функций двух независимых переменных, например

заданную в некоторой области плоскости (как везде, мы считаем функции непрерывными), можно рассматривать как систему, определяющую поверхность в пространстве Действительно, отнесем каждой точке области точку в пространстве с координатами вычисленными по формулам (1.26). Совокупность всех таких точек, соответствующих всем точкам области и образует, вообще говоря, поверхность. Эта поверхность является отображением в пространстве области

в плоскости посредством системы функций (1.26). Если каждая пара из функций и определяет вырожденное отображение области то тройка функций (1.26) отображает область в линию (или точку) пространства и можно сказать, что при этом система (1.26) дает также вырожденное отображение области

Уравнения (1.26) называют параметрическими уравнениями поверхности, а переменные — параметрами (II, 152).