44. Биполярные координаты.

Возьмем систему

причем — Криволинейные координаты определяемые этой системой, называются биполярными.

Черт. 18.

Координатными линиями служат две системы взаимно-ортогональных окружностей с центрами соответственно на осях и О у (черт. 18). Действительно, если то,

исключая из двух равенств (2.18), получим:

т. е. уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным увеличением от до нуля и от нуля до переменная окружность выметет всю плоскость

Если то, исключая из двух равенств (2.18), получим:

т. е. уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным (Всякая такая окружность проходит через точки (- 1, 0) и (1, 0).)

С увеличением от 0 до переменная окружность два раза выметет всю плоскость . В самом деле, при изменении от 0 до окружность пройдет через любую точку верхней полуплоскости, лежащую внутри единичной окружности (область и через любую точку нижней полуплоскости, лежащую вне единичной окружности (область II); то же самое произойдет при изменении от до При изменении от и от до окружность пройдет через любую точку верхней полуплоскости лежащую вне единичной окружности (область III) и через любую нижней полуплоскости, лежащую внутри единичной окружности (область IV). Но приписывая частям окружности принадлежащим указанным областям III, IV, соответственно индексы (черт. 18), мы получим систему криволинейных координат (биполярных) (2.18), в которой каждой точке плоскости лишенной интервала оси соответствует единственная пара чисел и и обратно. Что касается точек интервала , то координата а для каждой из них (кроме граничных) имеет вполне определенное значение (при а при а координат стремится к 0 или к в зависимости от того, из верхней или из нижней полуплоскости происходит приближение к данной точке. Биполярная координата как функция точки на плоскости Олту разрывна на интервале оси при переходе точки через этот интервал функция, получает приращение, равное

Система функций (2.18) гомеоморфно отображает всю плоскость из которой удален интервал оси в область плоскости являющуюся бесконечной полосой, ограниченной прямыми: При этом, в силу соображений непрерывности, можно сказать, что верхняя сторона указанного интервала отображается в прямую а его нижняя сторона — в прямую

Проверка ортогональности системы биполярных координат дает:

откуда

Отображение (2.18) — регулярное.

Вычислим величины и для биполярных координат:

и, значит,

Находим выражения для