Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ПРЕДИСЛОВИЕПодлинное понимание и овладение различными современными физическими и техническими науками немыслимы без таких специальных разделов математического анализа, как теория поля, теория функций комплексной переменной, теория дифференциальных и интегральных уравнений математической физики и т. п. Вместе с тем между этими разделами анализа и общим его курсом, обычно изучаемым в высших технических учебных заведениях (в течение первых двух лет обучения), имеется серьезный разрыв. В то время как общий курс состоит из основ дифференциального и интегрального исчисления для «функций одной переменной» (что обычно является предметом занятий на 1-м году обучения) и для «функций многих переменных» (что является предметом занятий на 2-м году обучения), упомянутые специальные разделы требуют знания дополнительных вопросов, не предусматриваемых общей программой. К этим вопросам относятся: криволинейные координаты, преобразования дифференциальных и интегральных выражений к новой системе координат (т. е. замена переменных), понятия интегралов по ориентированным областям, связь между интегральными выражениями различных видов (преобразования типа формул Грина) и т. п. При изложении специальных разделов эти важные пробелы, в сущности говоря, никак не восполняются: на нужные сведения или делаются просто ссылки, или, в лучшем случае, они высказываются такой «скороговоркой», что понять суть дела бывает трудно не только инженеру, но и математику. Так, очень содержательная и отнюдь не легкая идея «преобразования» (и в аналитическом и в геометрическом аспектах), являющаяся стержневой идеей многочисленных и разнообразных математических приемов и способов решения прикладных задач, не раскрывается в соответствующей литературе. В частности, о методе криволинейных координат, несмотря на значительные его применения в технических дисциплинах и совсем не такую уж его очевидность и простоту, можно найти лишь самые скудные (и иногда невразумительные) цанные в книгах по математике и также «скороговорку» в книгах по технике, и то в очень ограниченном числе таких книг. Не существует, насколько мне известно, сводного и обстоятельного математического обзора хотя бы наиболее употребительных систем криволинейных координат. Невозможно согласиться с мнением, что достаточно подготовленный по общему курсу анализа читатель в состоянии самостоятельно, по самым кратким намекам, разобраться в нужном вспомогательном материале. Следствием этих обстоятельств является или чисто формальное изложение, или изложение, полное загадок и ребусов, разгадывание которых отвлекает вдумчивого читателя-инженера от главных целей изучения специального раздела анализа. Итак, как видно, и в системе математического образования инженера (и даже физика) и в подходящей литературе действительно есть важные пробелы. Если говорить в самом общем виде, то они проистекают из-за отсутствия в курсе анализа основ дифференциального и интегрального исчисления для «систем функций». Дополнение этим материалом курса анализа должно послужить для серьезной математической подготовки, если и не каждого инженера, то, во всяком случае, того, который намерен вести научную работу или, вообще, склонен к более углубленному и осознанному восприятию теории по своей специальности. В этой книге я стремился изложить в едином плане самые основные проблемы и задачи анализа для «систем функций», группирующиеся вокруг идеи «преобразований» (дифференциальных и интегральных выражений), причем, имея в виду поставленные цели, я придаю изложению, по возможности, геометрический характер. Для ьтого в самом начале дается целая глава, посвященная понятию отображения и связанным с ним понятиям. Во второй главе изучается другая важная геометрическая интерпретация систем функций — криволинейные координаты. Сравнительно небольшая третья глава отводится рассмотрению преобразований дифференциальных выражений, а четвертая — интегральных выражений. На базе изученных в двух первых главах геометрических интерпретаций систем функций вопросы, разбираемые в двух последних главах, могут быть, как мне кажется, восприняты без всяких трудностей. Начиная со второй главы, широко используются коэффициенты Ламе. Привлечение их чрезвычайно симметризует выкладки и делает их легко обозримыми и понятными. Этими соображениями оправдывается та важная роль, которую конструкции Ламе должны, на мой взгляд, играть в «оперативном» математическом анализе вообще, подобно той роли, какую они играют в некоторых техническихнауках. Очень многие вопросы, затронутые здесь, довольно часто связываются в учебном изложении с векторным анализом и теорией поля. Хотя криволинейные координаты, преобразования интегралов и т. п. действительно имеют большое значение для векторного анализа и теории поля, но этими разделами анализа отнюдь не исчерпывается область применения указанных вопросов. Поэтому я считаю правильным дать координатное, классическое изложение их, с тем, чтобы затем воспользоваться его результатами в различных специальных главах анализа, в том числе (и, быть может, в наибольшей мере) в векторном анализе и теории поля. Книга предназначена для инженеров, физиков, а также студентов старших курсов высших учебных заведений, знающих или знавших общий курс анализа. Мой опыт по руководству математической подготовкой аспирантов-инженеров и инженеров на курсах и циклах усовершенствования показал, что время, затрачиваемое на изучение материала этой книги, не пропадает даром и окупается с лихвой в дальнейшем. Кроме того, это изучение позволяет эффективно повторить (или даже заново освоить) фундаментальные понятия общего курса анализа, переосмыслить их с новой, более общей точки зрения. Ведь не секрет, что инженер начинает свою повышенную математическую подготовку в большинстве случаев почти «с нуля», основательно растеряв все, что было приобретено на первых двух курсах вуза. Настоящая книга содержит (правда, в значительно расширенном виде) курс лекций, который в течение ряда лет я читаю аспирантам-инженерам Московского инженерно-строительного института им. В. В. Куйбышева. Передо мной стояла цель придать изложению ясный и доходчивый характер, вполне доступный для внимательного читателя, владеющего втузовским курсом анализа или способного более или менее свободно разобраться в его вопросах. Если такой читатель будет в каких-нибудь местах книги испытывать большие затруднения, то я, значит, не достиг того, чего хотел. Я буду весьма благодарен за указания всяких погрешностей изложения, неясностей, ошибок, опечаток, вообще всего того, что должно быть устранено для улучшения книги. Корректность и известная строгость математических рассуждений были также одним из тех принципов, которых я старался придерживаться в моей работе. Однако не всегда имелась возможность провести рассуждения исчерпывающим образом и довести их до логического конца (к ним относятся, например, рассуждения в теоремах существования). В таких случаях, и при любой другой надобности, я позволяю себе отослать читателя за консультацией к более полным, во многих отношениях замечательным, курсам анализа Э. Гурса, Р. Куранта, В. И. Смирнова, Г. М. Фихтенгольца, имеющим, однако, иную предназначенность. Упомяну еще об одной особенности. Я не стремился во что бы то ни стало к экономии бумаги, будучи убежденным, что нередко такая экономия приводит к нерациональной растрате сил и внимания читателя. Кроме того, я не предполагаю, что все содержание книги должно быть предметом последовательного изучения. Конечно, нет никакой нужды, например, рассматривать подряд все описанные системы криволинейных координат. Поэтому рассуждения в пространственном случае, повторяющие аналогичные рассуждения в плоском случае, довольно часто проводятся полностью, а не опускаются с соответствующей ссылкой. Читатель, заинтересованный в каком-нибудь одном вопросе, может получить, как правило, необходимую ему справку без того, чтобы «поднять» весь предыдущий материал. Таким образом, вообще, имеется в виду, что эта книга может служить развернутым справочным пособием по затронутым в ней вопросам. А. Ф. Бермант
|
1 |
Оглавление
|