§ 8. ВАЖНЕЙШИЕ СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ

В некоторых случаях криволинейные координаты в пространстве имеют простой и наглядный геометрический смысл.

Мы приведем наиболее важные примеры криволинейных координат в пространстве. При этом во всех разбираемых далее примерах мы задаем, как и в плоском случае, систему равенств . выражающих декартовы прямоугольные координаты точки через ее криволинейные координаты, а не систему равенств дающих обратные зависимости. Здесь также это оказывается удобнее потому, что обычно

в задачах, где применяются криволинейные координаты, нужно знать, как выражаются именно декартовы координаты точки через ее криволинейные координаты, а не наоборот.

53. Декартовы координаты.

Декартовыми координатами в пространстве вообще называются величины через которые данные декартовы прямоугольные координаты и выражаются так:

где — постоянные и якобиан

отличен от нуля. Эта система легко обращается:

где — постоянные и якобиан

также отличен от нуля.

С одной стороны, системы (2.36) и (2.36) определяют невырожденное аффинное отображение пространства в пространстве . С другой стороны, они определяют «криволинейные» координаты во всем пространстве которые, впрочем, являются прямолинейными. В самом деле, координатными поверхностями служат три системы плоскостей параллельных соответственно плоскостям:

так что декартовой системой можно назвать любую «прямолинейную» систему, т. е. систему, координатными поверхностями которой служат плоскости.

Система (2.36) в общем случае не является ортогональной. Действительно, мы имеем выражения (см. (2.20)):

которые, конечно, не всегда равны нулю.

Декартовы координаты имеют простой геометрический смысл. Если плоскости (2.37) принять за новые плоскости координат, то новые координаты точки (в системе )

выражают проекции (в общем случае косоугольные) радиуса-вектора на новые оси координат (черт. 20).

Черт. 20.

Это особенно наглядно видно в случае ортогональности системы (2.36), (2.36). Перепишем первое из уравнений (2.36) так:

и полагая (что возможно)

а также обозначая

получим:

При этом можно считать, что суть направляющие косинусы вектора, нормального к плоскости (ибо ).

Аналогично

где новые обозначения имеют смысл, подобный смыслу обозначений в выражении для и.

Теперь условия ортогональности запишутся так:

что должно быть совершенно понятным, так как левая часть каждого из этих равенств выражает косинус угла между нормальными векторами, к соответствующим координатным плоскостям. Для простоты положим это означает, что начало координат О новой системы совпадает с началом О данной системы Но тогда величина

являясь скалярным произведением единичного вектора нормали к плоскости и вектора

выражает проекцию этого вектора на направление указанной нормали, т. е. на ось координат , следовательно, служит обычной (прямоугольной) декартовой координатой точки Р по этой оси. То же самое относится и к величинам и

Итак, система координат есть система декартовых прямоугольных координат, оси которой образуют с осями соответственно углы Если не все равны нулю, то система координат параллельна системе причем начало координат О имеет такие координаты: . Система координат отличается от системы только масштабами по осям координат. Единицы длины по осям равны соответственно единицам длины по осям

Таким образом, любая прямолинейная и ортогональная система координат может быть получена из данной декартовой ортогональной системы координат передвижением этой системы в пространстве как твердого тела («параллельным сдвигом» и «вращением» вокруг неподвижного начала координат) и изменением масштаба по осям координат.

Если то мы имеем хорошо известный из аналитической геометрии случай преобразования декартовых прямоугольных координат (при этом масштаб сохраняется).

Обычно новые декартозы координаты обозначаются через

Вычислим величины для декартовых (ортогональных) координат:

(кликните для просмотра скана)

то