§ 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТЕ

90. Постановка вопроса. Ориентация линии.

Наряду с интегралами по мере области (которые иногда называются интегралами типа) вводятся интегралы по координатам (называемые интегралами типа). Отметим, эти интегралы конструируются совершенно так же, как и соответствующие интегралы по мере области, с тем только различием, что каждое слагаемое (элемент) интегральной суммы получается умножением значения интегрируемой функции не на меру частичной области, а на ее проекцию (на ось или на плоскость координат), примем этой частичной области придается определенная ориентация (направление). Такие интегралы оказываются более употребительными, чем интегралы по мере, ибо. они часто позволяют ограничиться одной формулой там, где требуется несколько формул, если пользоваться вместо них интегралами по мере. С этим связано и то важное обстоятельство, что интегралы по координатам допускают простые и очень полезные соотношения между интегралами различных типов, точнее говоря, между интегралами, распространенными

по областям различного числа измерений. Но в то время как интегралам по мере можно было легко дать общее определение и построить их общую теорию, по отношению к интегралам по координатам это сделать затруднительно.

Мы изучим интегралы по координатам лишь в трех случаях, когда областями интегрирования служат: 1) линия в плоскости; 2) линия в пространстве; 3) поверхность. Этого вполне достаточно для дальнейшего развития общих и специальных вопросов математического анализа и для его многочисленных применений к техническим и физическим дисциплинам.

При определении и выяснении простейших свойств криволинейных интегралов можно объединить два первых случая. Рассмотрим, следозательно, криволинейный интеграл, взятый по линии принадлежащей — безразлично — координатной плоскости или координатному пространству.

Этой линии являющейся областью интегрирования, придается теперь одна из двух возможных ориентаций (направлений). Именно, одна из граничных точек линии — точка А — принимается в качестве начальной, а другая — точка В — в качестве конечной, причем всякое перемещение вдоль линии может происходить лишь от точки А к точке В без какого бы то ни было повторения уже раз пройденного участка. (Если линия замкнутая, то под А и В подразумеваются две «стороны» (вдоль линии одной и той же точки.)

Таким образом, задание ориентации на всей линии означает и задание ориентации на любом ее участке.

Обратно, задание ориентации какой-нибудь окрестности лишь одной точки М линии определит ориентацию и всей линии если условиться, что при непрерывном переходе точки М по линии ориентация окрестности точки М изменяется также непрерывно.

Ориентацию окрестности точки можно также указать заданием направления касательной к линии в начальной точке окрестности. В плоском же случае ориентацию

окрестности точки можно задать и направлением нормали к линии в данной точке, если дополнительно согласиться, что направленные касательная и нормаль в любой точке линии должны составлять «правый крест», т. е. систему, ориентированную подобно принятой правой системе декартовых координат

Итак, ориентацию плоской линии при описанных соглашениях можно задать направлением нормали к ней в одной точке; это вместе с тем дает и указание (той или другой) «стороны» линии. Отсюда следует, что ориентация плоской линии определяется также и указанием «стороны» этой линии.

Замкнутая плоская линия обычно считается положительно ориентированной, если обход по ней происходит против движения часовой стрелки (или, что все равно, если область, ограниченная линией, остается слева). В соответствии же со сказанным положительную ориентацию замкнутой линии можно выразить и так: замкнутая плоская линия ориентирована положительно, если указана (выбрана) ее «внутренняя сторона», т. е. сторона, обращенная к области, ограниченной линией. Противоположная ориентация замкнутой плоской линии называется отрицательной.