85. Преобразования в декартовых координатах.

На формулы преобразования (4.5), (4.5) мы будем смотреть прежде всего как на формулы, отображающие область интегрирования Е из декартовой системы в область в декартовой системе При этом предполагается, что отображение гомеоморфное и непрерывно дифференцируемое, а якобиан его если и обращается в нуль, то лишь в конечном числе точек.

Теорема. Имеет место следующая формула преобразования интеграла (замены переменных):

где — коэффициент искажения отображения (4.5); — элемент меры в декартовой системе координат в области являющейся образом области Е, т. е.

Формула преобразования интеграла (4.6) может быть переписана применительно к каждому из трех интегоалов (4.4). Так, для первого интеграла (4.4) имеем:

где — коэффициент искажения длины при отображении (4.5); — образ интервала

Для второго интеграла (4.4) имеем:

где — коэффициент искажения площади при отображении (4.5); — образ плоской области

Для третьего интеграла (4.4) имеем:

где коэффициент искажения объема при отображении (4.5); 2 — образ пространственной области 6.

Доказательство. Заметим прежде всего, что если через обозначен коэффициент искажения отображения (4.5) в точке т. е.

то

где элемент меры бесконечно малой области, содержащей точку — элемент меры образа этой области, содержащего точку Р, и, значит,

где — соответствующие друг другу области в системах мера области Е. Применяя к интегралу теорему о среднем (п°81), получим:

где — некоторая «средняя» точка области мера области

В согласии с определением интеграла запишем (предполагая область Е конечной и функцию непрерывной):

где интегральная сумма составлена для какого-нибудь разбиения области частичных областей; выбором принадлежащих этим областям точек мы сейчас распорядимся. Подразделению области в системе на частичные области соответствует, в силу заданного отображения (4.5), подразделение области в системе на частичные

области причем каждая область является образом соответствующей области

Заменяя теперь точку из области ее прообразом из области перепишем правую часть равенства так:

На основании соотношения имеем:

где — некоторая «средняя» точка частичной области так как точки Р области произвольны, то мы можем считать их такими, что их прообразы — точки — совпадают с точками При этом

но справа за символом предела находится интегральная сумма, составленная для функции и области Это и доказывает формулу (4.6).

Как известно (см. гл. I), коэффициент искажения равен модулю якобиана отображения:

и поэтому формула (4.6) может быть записана в виде:

а три формулы относящиеся соответственно к линейному, плоскому, пространственному случаям,

в виде:

С точки зрения приведенной выше физической интерпретации эти формулы очень наглядны. Именно, они показывают следующее: для того чтобы вычислить с помощью интеграла всю массу в данной области Е, производя интегрирование, однако, не по данной, а по отображенной области нужно плотность умножить не только на элемент меры в области но и на соответствующий коэффициент искажения. Если же отнести коэффициент искажения в подынтегральном выражении не к элементу меры, а к плотности, то можно дать несколько иное разъяснение формул (4.6). Именно, они показывают, что на отображенной области образуется такая же масса, как и заданная на области Е, если распределить ее по области так, чтобы плотность в каждой ее точке равнялась плотности в соответствующей точке Р области Е, умноженной на коэффициент искажения к (Например, если при переходе в область мера уменьшается в 2 раза, то масса, конечно, сохранится, если плотность взять в 2 раза большую.)