70. Замена независимой переменной и функции.

Переходим к общему случаю. Заменяя в выражении совместно и независимую переменную и ее функцию у новыми переменными будем предполагать, что «старые» и «новые» переменные связаны между собой зависимостями, разрешенными относительно заданных переменных х и у:

причем функции и непрерывны вместе со всеми своими производными до требуемого порядка.

Равенства (3.6) называются формулами преобразования или замены переменных.

Так как у есть некоторая функция от то между двумя переменными и и должна существовать функциональная

связь и можно считать, что, например, является функцией независимой переменной и, соответствующей данной функции

Дифференцируя второе из равенств (3.6) по получим:

Вместо множителя подставляем его выражение через новые переменные; это выражение находится при помощи дифференцирования первого из равенств (3.6) по

отсюда

и, значит,

Далее, получаем:

остается продифференцировать по и подставить уже известное выражение чтобы найти производную построенную из Точно так же находим Можно, однако, поступать и иначе: продолжаем дифференцировать равенство (в еще не «завершенном» виде):

и т. д. Здесь нужно заменить производные их выражениями через Выражение для нам уже

известно, а выражения для найдем при помощи последовательного дифференцирования по соотношения

и т. д. Таким образом, например, для получаем:

Однако закон образования последовательных производных из довольно сложен и нет никакой необходимости его выяснять и запоминать соответствующие формулы даже для первых порядков. Просто следует всякий раз при конкретном задании формул преобразования (3.6) находить выражения для так, как это сейчас было продемонстрировано в общем виде.

Подставляя в формулу (3.1) данные и найденные выражения, мы и получим искомое новое выражение для V:

Зависимости между «старыми» переменными и «новыми» переменными т. е. формулы преобразования (3.6), могут быть интерпретированы либо как

формулы, отображающие линию в плоскости заданную уравнением в линию X в плоскости определяемую уравнением либо как формулы преобразования координат (от декартовых прямоугольных координат к криволинейным координатам причем уравнением данной линии в криволинейных координатах и будет уравнение

В первой из этих интерпретаций преобразование выражения (см. (3.1)) означает построение такого выражения (см. (3.7)), что его значение в какой-нибудь точке линии X равно значению заданного выражения в соответствующей точке линии во второй интерпретации указанное преобразование означает построение такого выражения что его значение в каждой точке Р линии в другой заданной системе криволинейных координат равно значению исходного выражения в той же точке Р.

Заметим, что если функция не зависит от а функция не зависит от и, то преобразование (3.6) может быть заменено последовательностью двух преобразований, описанных в п°п° 68 и 69.

Пример 8. Пусть

Преобразуем V, принимая за независимую переменную, а за функцию, связанные с данными независимой переменной и функцией у соотношениями:

другими словами, преобразуем выражения для кривизны линии в декартовых координатах к полярным координатам (п° 39). Имеем:

откуда

Значит,

Далее,

Подставляя в выражение для К, находим:

Это и есть выражение для кривизны линии, когда она (линия) определяется уравнением между полярным радиусом и полярным углом любой ее точки.

Отметим, что, находя в п° 36 выражение в криволинейных (ортогональных) координатах для элемента длины линии, мы фактически просто преобразовываем выражение по формулам преобразования (3.6).

Если зависимости между разрешены относительно новых переменных т. е.

то можно или обратить эту систему, выразить через и и и заменить переменные в согласии с изложенным способом или, принимая в качестве независимой переменной, например, и, а в качестве ее функции, дифференцировать оба равенства по и нужное число раз. Мы не будем останавливаться на этом последнем приеме, так как рассмотрение его в общем виде для нас не представляет интереса