Главная > Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

70. Замена независимой переменной и функции.

Переходим к общему случаю. Заменяя в выражении совместно и независимую переменную и ее функцию у новыми переменными будем предполагать, что «старые» и «новые» переменные связаны между собой зависимостями, разрешенными относительно заданных переменных х и у:

причем функции и непрерывны вместе со всеми своими производными до требуемого порядка.

Равенства (3.6) называются формулами преобразования или замены переменных.

Так как у есть некоторая функция от то между двумя переменными и и должна существовать функциональная

связь и можно считать, что, например, является функцией независимой переменной и, соответствующей данной функции

Дифференцируя второе из равенств (3.6) по получим:

Вместо множителя подставляем его выражение через новые переменные; это выражение находится при помощи дифференцирования первого из равенств (3.6) по

отсюда

и, значит,

Далее, получаем:

остается продифференцировать по и подставить уже известное выражение чтобы найти производную построенную из Точно так же находим Можно, однако, поступать и иначе: продолжаем дифференцировать равенство (в еще не «завершенном» виде):

и т. д. Здесь нужно заменить производные их выражениями через Выражение для нам уже

известно, а выражения для найдем при помощи последовательного дифференцирования по соотношения

и т. д. Таким образом, например, для получаем:

Однако закон образования последовательных производных из довольно сложен и нет никакой необходимости его выяснять и запоминать соответствующие формулы даже для первых порядков. Просто следует всякий раз при конкретном задании формул преобразования (3.6) находить выражения для так, как это сейчас было продемонстрировано в общем виде.

Подставляя в формулу (3.1) данные и найденные выражения, мы и получим искомое новое выражение для V:

Зависимости между «старыми» переменными и «новыми» переменными т. е. формулы преобразования (3.6), могут быть интерпретированы либо как

формулы, отображающие линию в плоскости заданную уравнением в линию X в плоскости определяемую уравнением либо как формулы преобразования координат (от декартовых прямоугольных координат к криволинейным координатам причем уравнением данной линии в криволинейных координатах и будет уравнение

В первой из этих интерпретаций преобразование выражения (см. (3.1)) означает построение такого выражения (см. (3.7)), что его значение в какой-нибудь точке линии X равно значению заданного выражения в соответствующей точке линии во второй интерпретации указанное преобразование означает построение такого выражения что его значение в каждой точке Р линии в другой заданной системе криволинейных координат равно значению исходного выражения в той же точке Р.

Заметим, что если функция не зависит от а функция не зависит от и, то преобразование (3.6) может быть заменено последовательностью двух преобразований, описанных в п°п° 68 и 69.

Пример 8. Пусть

Преобразуем V, принимая за независимую переменную, а за функцию, связанные с данными независимой переменной и функцией у соотношениями:

другими словами, преобразуем выражения для кривизны линии в декартовых координатах к полярным координатам (п° 39). Имеем:

откуда

Значит,

Далее,

Подставляя в выражение для К, находим:

Это и есть выражение для кривизны линии, когда она (линия) определяется уравнением между полярным радиусом и полярным углом любой ее точки.

Отметим, что, находя в п° 36 выражение в криволинейных (ортогональных) координатах для элемента длины линии, мы фактически просто преобразовываем выражение по формулам преобразования (3.6).

Если зависимости между разрешены относительно новых переменных т. е.

то можно или обратить эту систему, выразить через и и и заменить переменные в согласии с изложенным способом или, принимая в качестве независимой переменной, например, и, а в качестве ее функции, дифференцировать оба равенства по и нужное число раз. Мы не будем останавливаться на этом последнем приеме, так как рассмотрение его в общем виде для нас не представляет интереса

1
Оглавление
email@scask.ru