95. Определение и свойства интеграла.

Перейдем теперь к определению поверхностного интеграла по координатам (например, по

Определение. Пусть ориентированная конечная поверхность разбита произвольным образом на частичных ориентированных поверхностей, есть произвольная точка частичной поверхности, а проекция этой поверхности на плоскость Тогда поверхностным интегралом по координатам

от функции по поверхности на которой функция. непрерывна, называется предел интегральной суммы

при и стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных поверхностей.

Каждый член интегральной суммы есть произведение значения интегрируемой функции в произвольной точке частичной ориентированной поверхности на проекцию этой частичной поверхности на плоскость . (Аналогично определяется интеграл по той же поверхности от той же функции по другим координатам и или у и z.)

При задании поверхностного интеграла по координатам нужно указывать не только поверхность — область интегрирования, но и ее ориентацию.

Можно показать (в теореме существования), что интегральная сумма для поверхностного интеграла всегда при указанных условиях действительно имеет предел, не зависящий ни от способа последовательного разбиения поверхности на частичные поверхности, ни от выбора точек

В частности, если поверхностью интегрирования служит область плоскости то поверхностный интеграл по ко ординатам х и у есть просто; двойной интеграл («по площади»), взятый по указанной области со знаком или в зависимости от заданной ориентации (т. е. в зависимости от того, по верхней или по нижней стороне плоскости производится интегрирование). Поверхностный интеграл по координатам, так же и интеграл по мере области обладает свойствами линейности и аддитивности, т. е.

где — константа.

Кроме того, поверхностный интеграл по координатам обладает специфическим свойством, связанным с ориентацией поверхности интегрирования, а именно:

III. Перемена ориентации поверхности интегрирования изменяет знак интеграла на обратный:

через и обозначена одна и та же поверхность, но при противоположных ориентациях.

Это свойство в свою очередь обусловливает следующее важное свойство поверхностного интеграла по координатам:

IV. Если область, ограниченная замкнутой поверхностью разбита на областей, ограниченных замкнутыми поверхностями ориентированных так же, как и данная поверхность то интеграл по координатам по всей поверхности равен сумме интегралов по Ъоверхностям

Доказательство, так же как и в случае криволинейного интеграла, непосредственно вытекает из аддитивности интеграла и его свойства изменять знак при перемене ориентации поверхности интегрирования. Действительно, каждая взятая вспомогательная поверхность проходится при интегрировании в конечном счете два раза, по разным своим сторонам, и в результате остаются только интегралы по частям поверхности в сумме дающие интеграл по всей этой поверхности.

Заметим, что к двойному интегралу по ориентированной области относится формула замены переменных, вполне аналогичная формуле (4.9) для обыкновенного интеграла, учитывающая ориентацию области интегрирования, а именно:

где — формулы, гомеоморфно отображающие ориентированную область плоскости на данную ориентированнуюобласть плоскости Мы видим, что в формуле (4.10) в отличие от формулы (4.62) множителем в новом подын тегральном выражении вместо модуля якобиана отображающей системы коэффициента искажения берется просто якобиан Докажем формулу (4.10). Пусть в области якобиан не меняет знака, оставаясь положительным. Тогда «направления вращения» в обеих областях и будут одинаковыми (см. п°22) и, значит, одной и той же будет и ориентация областей; в силу этого и имеют один и тот же знак и доказываемая формула (4.10) просто совпадает с доказанной формулой . Если якобиан отрицателен в области то «направления вращения» в областях и и их ориентация противоположны; из этого следует, что имеют противоположные знаки, а это в соединении с отрицательным знаком якобиана снова приводит к формуле (4.10),

Условие гомеоморфизма отображения области А на область нельзя отбросить по следующему соображению. При отсутствии гомеоморфизма область может быть покрыта несколько раз — с одной и той же или различными, но, в отличие от линейного случая, некомпенсируемыми взаимно ориентациями, что, разумеется, может исказить значение данного интеграла по области