§ 6. КОЭФФИЦИЕНТ ИСКАЖЕНИЯ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) И ЯКОБИАН. РЕГУЛЯРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

20. Коэффициент искажения.

Если функции дифференцируемы в области то отображение (1.6):

называется также дифференцируемым. В дальнейшем всегда предполагается, что функции непрерывно дифференцируемы, т. е. имеют непрерывные частные производные по обеим переменным.

Важной характеристикой дифференцируемого отображения служит следующий определитель, составленный из производных данных функций:

Этот определитель называется функциональным определителем или якобианом отображения (1.6) (или системы функции он обозначается через т.е.

Говоря точнее, важными характеристиками дифференцируемого отображения (1.6) служат модуль якобиана и его знак

Выясним это. Рассмотрим отображение (1.6):

в окрестности точки Система функций (1.6) преобразует точки этой окрестности в точки распределенные, вообще говоря, иначе, чем исходные точки. Так, если взять точки плоскости распределенные равномерно

(см. § 4), то они отобразятся в точки, распределенные, вообще говоря, неравномерно: система функций (1.6) указанные точки плоскости в различных местах сгустит (или разрядит) по-разному. Только в одном случае всякое равномерно распределенное множество точек на плоскости преобразуется в равномерно же распределенное множество точек на плоскости , а именно только в случае аффинного отображения (1.8). При этом отношение площади образа к площади прообраза (коэффициент искажения) остается постоянным.

Если отображение (1.6) не аффинное, то «разброс» равномерно распределенных точек будет неодинаков и, например, площади прямоугольников (см. черт. 5) при отображении будут изменяться различно для различных прямоугольников. Поэтому здесь необходимо (как и в линейном случае) ввести локальное (т. е. относящееся к точке) понятие коэффициента искажения (или растяжения).

Определение. Коэффициентом искажения в точке отображения гомеоморфного в точке называется предел

отношения площади отображенной области (в плоскости ) к площади соответствующего отображаемого прямоугольника (в плоскости с вершиной в точке и со сторонами, параллельными осям при неограниченном стягивании этого прямоугольника к точке

Найдем выражение для коэффициента искажения. Вследствие гомеоморфности отображения в точке существует область такая, что принадлежащий ей прямоугольник (черт. 7) преобразуется в однократно покрытую область в плоскости

Черт. 7.

Пусть координаты вершин прямоугольника таковы: Этим точкам соответствуют в плоскости точки Координатные линии отображаются с помощью системы в некоторые, вообще говоря, кривые линии в плоскости параметрические уравнения которых суть соответственно:

Таким образом, прямоугольник отображается в криволинейный четырехугольник (черт. 7).

Рассмотрим прежде всего отображение треугольг ника его образом служит некоторый криволинейный треугольник (черт. 7). Вычислим предел отношения -алгебраической величину площади криволинейного треугольника алгебраической величине

площади треугольника . В силу непрерывности отображения площадь криволинейного треугольника (а значит и при ) будет отличаться от площади прямолинейного треугольника на бесконечно малую величину а высшего порядка, чем . Что же касается алгебраической величины площади прямолинейного то мы имеем:

Так как (II, 147):

где бесконечно малые порядка, высшего чем (и чем ), то на основании правил действия над определителями получаем:

причем

очевидно, является бесконечно малой величиной порядка выс шего, чем Находим:

переходя к пределу при получим:

т.е.

Возьмем, далее, отображение треугольника и вычислим предел отношения -алгебраической величины площади треугольника — алгебраической величине площади треугольника Рассуждая так же, как и выше, и имея в виду, что

получим:

Теперь совсем просто найти и предел отношения — алгебраической величины площади криволинейного четырехугольника алгебраической величине площади прямоугольника

Это значит, что коэффициент искажения в точке равен:

т.е. коэффициент искажения в данной точке равен модулю якобиана отображения в этой точке. В частности, в случае аффинного отображения коэффициент искажения оказывается величиной постоянной, равной определителю системы линейных функций, определяющих отображение.

Итак, мы видим, что модуль якобиана отображения, гомеоморфного в точке, показывает с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, во сколько раз изменяется при отображении площадь бесконечно малого прямоугольника (с вершиной в данной точке).

Если якобиан отличен от нуля, то, как это доказывается ниже (п° 24), отображение будет гомеоморфным в данной точке, и высказанный результат не вызывает никаких сомнений; если же якобиан равен нулю, то при условии гомеоморфности отображения в точке (см. п° 26) коэффициент искажения также считают равным модулю якобиана, т. е. нулю, понимая под этим, что бесконечно малый прямоугольник отображается в область, площадь которой есть бесконечно малая величина высшего порядка (условно говорят еще, что при отображении область «бесконечно сжимается»).