§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ

Рассмотрим два замечательных частных случая «аффинного отображения».

17. Сохранение площади. Движение.

Представляют интерес аффинные отображения, которые происходят без «искажения» площади т. е. для которых коэффициент искажения равен единице:

Например, таким отображением будет всякое отображение вида:

Аффинные отображения, сохраняющие площадь, изменяют, вообще говоря, и форму и положение (относительно системы координат) отображаемой области. Но если отображение сохраняет неизмейной область, меняя лишь ее расположение на плоскости, то оно, разумеется, не изменяет и площадь области. К числу таких отображений принадлежат аффинные отображения, сохраняющие расстояния между точками.

Покажем сейчас, что если аффинное отображение (1.8) таково, что расстояние между двумя любыми точками плоскости равно расстоянию между их образами, то оно сохраняет и форму области, а значит, и ее площадь.

Возьмем в плоскости две точки пусть их образами в плоскости будут соответственно точки: Тогда должно быть:

т. е.

так как это равенство тождественное, то

Можно положить:

тогда

и в силу двух последних равенств (1.13)

причем комбинация знаков должна быть такой, чтобы

(это вытекает из последнего уравнения (1.13)).

Следовательно, аффинные отображения, сохраняющие расстояния, можно записать так:

Легко видеть, что равенства (1.14) представляют собой формулы преобразования координат на плоскости: параллельного переноса осей координат в новое начало и поворота системы относительно точки О либо на угол (при верхних знаках), либо на угол (при нижних знаках). Отсюда вытекает, что если совместить плоскость с плоскостью то при отображении (1.14) точку можно следующим образом построить по ее прообразу радиус-вектор точки Р поворачиваем либо на угол либо на угол и находим вектор-сумму полученного нового вектора с вектором 00; конец вектора и будет искомой точкой

Совсем легко прийти к этому же результату, если обратиться не к готовым формулам преобразования в аналитической геометрии, а к простейшим правилам векторной алгебры. Возьмем для примера отображение (1.14) при верхних знаках. Проведем из начала координат взаимно - перпендикулярные единичные векторы и О В соответственно под углами и y — к оси (черт. 6). Вектор имеет относительно системы координаты, равные

Поэтому

есть скалярное произведение тора и вектора имеющего координаты х и у. Значит, равно проекции вектора на направление вектора О А. Точно так же.

есть скалярное произведение векторов и и значит, и — равно проекции вектора на направление вектора О В. Таким образом, если оси, имеющие направления векторов и принять за оси координат то относительно этой системы точка Р будет иметь своими координатами как раз числа (см. черт. 6). Если же новую систему координат совместить с системой (т. е. повернуть ее в положительном направлении на угол ) то и будут координатами (относительно системы

Черт. 6.

и совмещенной с ней системы точки, в которую перейдет точка Р при повороте вектора на угол в положительном направлении вокруг начала координат.

Следовательно, при отображениях (1.14) образ данной области получается передвижением ее как твердого тела: сначала вращением вокруг начала координат, а затем переносом параллельно самой себе. Поэтому аффинное отображение (1.14) называют плоским движением твердой пластины (области) (или просто движением).

При отображениях (1.15) производятся те же операции, что и при отображении (1.14), только после поворота вектор еще симметрично отражается относительно оси (Отображения не следует называть «движением», поскольку при этих отображениях приходится симметрично отражать области относительно координатной оси, что передвижением области в плоскости осуществить нельзя.)

Итак, мы убедились, что аффинные отображения, сохраняющие расстояния, сохраняют самую область, а следовательно, и ее площадь. (Сохранение площади вытекает, впрочем, сразу и из того, что коэффициенты, удовлетворяющие условиям (1.13), удовлетворяют и условию

Обратное предложение очевидно: всякое плоское движение «твердой пластины» является аффинным отображением (1.14).