64. Параболоидальные координаты.

Криволинейные координаты связанные с декартовыми прямоугольными координатами соотношениями:

причем называются параболоидальными. Нетрудно убедиться, что координатными поверхностями в этой системе служат:

— параболоид вращения:

с вершиной в точке полученный от вращения параболы вокруг луча оси

— полуплоскость:

проходящая через ось и образующая угол с положительной полуплоскостью

параболоид вращения:

с вершиной в точке полученный от вращения параболы вокруг луча оси

Решая уравнения трех координатных поверхностей относительно замечаем, что каждой тройке координат (кроме тех, у которых соответствует единственная тройка координат подчиненных указанным выше ограничениям. Из соотношений (2.51) прямо видно, что каждой такой тройке координат соответствует единственная тройка координат Значит, все пространство лишенное положительной полуплоскости гомеоморфно отображается системой функций (2.61) в область пространства определяемую неравенствами: (бесконечный прямоугольный параллелепипед). Для системы параболоидальных координат ось является особой линией: в ее точках координата остается неопределенной.

Ортогональность системы параболоидальных координат проверяется легко. Запишем, далее, выражения для величин