51. Элемент площади поверхности. Направляющие косинусы нормали.

Пусть поверхность в пространстве задана параметрическими уравнениями:

где Параметры можно считать либо прямоугольными координатами точки в некоторой области А, отображаемой системой (2.27) на рассматриваемую поверхность либо криволинейными координатами точек поверхности (см. п°п° 28 и 33). Функции предполагаются, как всегда, непрерывно дифференцируемыми в области А. Возьмем точку поверхности и обозначим через

углы, образованные направленной нормалью к поверхности в точке соответственно с осями Заметим теперь, что уравнением касательной плоскости к поверхности в точке служит уравнение

где точка прообраз точки в области Так как коэффициенты уравнения (2.28) являются проекциями вектора, нормального к плоскости (2.28), то (см., например, И. И. Привалов, Аналитическая геометрия), имеем такие выражения для направляющих косинусов этого вектора:

Мы отбросили индекс подчеркивая этим, что выведенные формулы относятся к произвольной точке поверхности. Выбор знака перед радикалом означает выбор определенного направления нормалей к поверхности , значит, определенной стороны этой поверхности, ибо она предполагается двусторонней (см. п°94).

Определение. Элементом (дифференциалом) площади поверхности в ее точке называется площадь части плоскости, касательной к поверхности в точке причем эта часть соответствует бесконечно малой части поверхности содержащей точку (Соответствующие друг другу части поверхности и касательной к ней плоскости ортогонально проектируются в одну и ту же область плоскости или или

Теорема. Для элемента площади поверхности в системе криволинейных координат на этой поверхности имеем: выражения:

где

а — элементы площади в соответствующих координатных плоскостях.

Доказательство. Пусть дана произвольная точка поверхности Возьмем такую содержащую точку М часть поверхности, чтобы она проектировалась на координатную плоскость, например в область, площадь которой равна элементу площади Очевидно мы имеем:

(см. скан)

Это и есть обычно употребляемая общая форма элемента площади поверхности в криволинейных координатах на поверхности.

Величины называются коэффициентами Гаусса поверхности в данной системе криволинейных координат

Заметим, что

где через обозначены коэффициенты Ламе системы криволинейных координат соответственно в плоскостях причем индекс, как принято нами, указывает криволинейную координату (и или относительно которой берется коэффициент Ламе (см. п° 35). Если каждая пара из соотношений (2.27) определяет ортогональную систему криволинейных координат в соответствующей плоскости, то, как легко проверить, Это соотношение является необходимым и достаточным условием того, что координатные линии на поверхности образуют ортогональную сеть, т. е. что данная система ортогональных координат на поверхности ортогональна.

Отметим, что элемент длины линии на поверхности заданной своими уравнениями (2.27), записывается так:

Подрадикальное выражение называется первой дифференциальной формой Гаусса.

Остановимся на важном частном случае, когда параметрами и к являются сами декартовы координаты, например х и у, и, следовательно, когда уравнением поверхности служит одно уравнение между координатами и разрешенное относительно Тогда

и, значит,

Между прочим, формулы (2.29) для направляющих косинусов нормали в этом частном случае приобретают вид:

Придадим элементу площади поверхности еще другой, легко запоминаемый вид, отличный от вида выражения (2.30). Именно в формуле (2.32) внесем выражение под радикал; получим:

или, записывая слагаемые под радикалом в другом порядке,

В частности,

Общую формулу (2.30) можно представить себе весьма просто полученной следующим образом. Области с площадью в касательной плоскости к поверхности проектируются на координатные плоскости в области, площади которых равны соответствующим элементам Поэтому имеем:

Возведя эти равенства в квадрат и складывая, прийдём к формуле (2.30), ибо