73. Замена независимых переменных и функции.

Заменяя в выражении (3.8) совместно и независимые переменные х и у и их функцию новыми переменными и будем предполагать, что «старые» и «новые» переменные связаны между собой зависимостями, разрешенными относительно данных переменных

причем функции непрерывны вместе со всеми своими производными до нужного порядка.

Равенства (3.16) называются формулами преобразования или замены переменных.

Так как есть некоторая функция от х и у, то между тремя переменными и должна существовать функциональная связь и можно считать, что, например, является функцией от независимых переменных соответствующей данной функции

Дифференцируя третье из равенств (3.16) по и по у, получим:

В этих равенствах еще нужно заменить производные их выражениями через новые переменные; эти выражения можно найти при помощи дифференцирования первых двух равенств (3.16) по и по у:

Из первых двух соотношений получим а из вторых двух соотношений . Всякая следующая производная находится соответствующим дифференцированием предыдущей производной, выраженной через и на основании таких же соображений

которые были использованы только что при отыскании Например,

остается продифференцировать по и подставить уже известные выражения для и чтобы найти производную как функцию от

Можно, однако, поступать и иначе: продолжая дифференцировать равенства в еще не завершенном виде (т. е. в виде, когда вместо еще не подставлены их выражения через новые переменные), заменять затем высшие производные от по и по у их выражениями, находимыми посредством дифференцирования соотношений по и по у (ср. п° 70).

Так же как и раньше, здесь нет никакой необходимости запоминать окончательные формулы.

Подставляя в формулу (3.8) данные и найденные выражения, мы и получим искомое новое выражение для

Зависимости между «старыми» переменными и «новыми» переменными т. е. формулы преобразования (3.16), могут быть интерпретированы либо как формулы, отображающие поверхность в пространстве заданную уравнением в поверхность в пространстве определяемую уравнением либо как формулы преобразования координат (от декартовых прямоугольных координат к криволинейным координатам причем уравнением данной поверхности в криволинейных координатах и будет уравнение

В первой из этих интерпретаций указанное преобразование выражения (см. (3,8)) означает построение такогд

выражения что его значение в какой-нибудь точке поверхности равно значению заданного выражения в соответствующей точке поверхности во второй интерпретации указанное преобразование означает построение такого выражения что его значение в каждой точке Р поверхности в другой заданной системе криволинейных координат равно значению исходного выражения в той же точке Р.

Заметим» что если функция не зависит от а и а функции не зависят от то преобразование (3.16) может быть заменено последовательностью двух преобразований, описанных в п° п° 71 и 72.

Пример 5. Пусть

Преобразуем принимая и и и за независимыепеременные, за функцию, связанные с данными независимыми переменными функцией соотношениями;

имеем

Из последних равенств находим:

следовательно

Далее имеем:

Подставляя в заданное выражение, получаем:

так что, если бы мы решали дифференциальное уравнение то в результате выполненного преобразования пришли бы к простому уравнению:

из которого легко найти, что

где — произвольные дважды дифференцируемые функции V. Возвращаясь к «старым» переменным, находим:

что можно записать просто так:

где — произвольные дважды дифференцируемые функции. Отметим, что, находя в § 7 гл. II выражение в криволинейных (ортогональных) координатах для элемента площади поверхности, мы фактически просто преобразовываем выражение

по формулам преобразования (3.16).

Если зависимости между разрешены относительно новых переменных т. е.

то можно или обратить эту систему, выразить через и заменить переменные в соответствии с изложенным

способом или, принимая в качестве независимых переменных, в качестве их функции, дифференцировать все три равенства по нужное число раз. Мы не будем останавливаться на этом последнем приеме, так как рассмотрение его в общем виде для нас не представляет интереса.