86. Преобразования в криволинейных координатах.

Придадим теперь формуле (4.6) замены переменных в интеграле другой вид, считая, что формулы преобразования (4.5), (4.5) являются формулами, определяющими систему криволинейных ортогональных координат в заданной области Е. При этом условии можно дать следующую общую формулу замены переменных в интеграле, не исключая криволинейные интегралы по длине и интеграл по площади поверхности, т. е. формулу, относящуюся к любому из интегралов пяти видов (4.3).

Теорема. Имеет место следующая формула преобразования интеграла (замены переменных):

где — элемент меры в заданной системе криволинейных координат области выражение функции после замены декартовых координат точки Р криволинейными координатами по формулам (4.5).

Доказательство. В случае интегралов (4.4) правая часть формулы (4.7) есть не что иное, как другой вид правой части формулы (4.6), ибо а произведение является элементом меры (элементом длины координатной оси, площади координатной плоскости, Объема координатного пространства) в соответствующих криволинейных координатах (см. гл. И). Так как криволинейные интегралы по длине и интеграл по площади поверхности приводятся к интегралам (4.4), то формула (4.7), как нетрудно сообразить, оказывается справедливой и для указанных интегралов по длине линии и по площади поверхности.

Как видим, такой подход к задаче замены переменных в интеграле, возвращающий нас к постановке вопроса в самом начале этого параграфа позволяет сохранить и после преобразования обычную структуру интеграла: как и в заданных интегралах (4.1), (4.3), элемент интеграла равен роизведению значения функции на элемент меры в соответствующей системе координат. Таким образом, переход от интеграла (4.1) к интегралу (4.7) при определении интеграла как предела интегральных сумм означает, в сущности говоря, просто переход от одного «закономерного» (устанавливаемого сетью координатных линий или поверхностей) способа подразделения области интегрирования к другому «закономерному» же способу.

Формула (4.7) может быть переписана применительно к каждому из пяти интегралов (4.3) (при ортогональности системы

Так, для первого интеграла (4.3) имеем:

где коэффициенты Ламе системы (4.5) (см. п° 35).

Для второго интеграла (4.3) имеем:

где коэффициенты Ламе системы (4.5) (см. n° 47).

Для третьего интеграла (4.3) имеем:

где — коэффициенты Ламе системы (4.5) (см.

Для четвертого интеграла (4.3) имеем:

где -коэффициенты Ламе системы (4.5) (см.

Для пятого интеграла (4.3) имеем:

где — коэффициенты Ламе системы (4.5) (см. n°47).

В формулах (4.6) можно рассматривать как криволинейные координаты точек заданной области; тогда в качестве области интегрирования

преобразованного интеграла нужно взять область интегрирования данного интеграла и, следовательно, в правых частях формул (4.6) вместо областей интегрирования нужно взять их соответственные прообразы Точно так же в формулах (4.7) можно рассматривать и как декартовы координаты точек отображенной области; тогда в качестве области интегрирования преобразованного интеграла нужно взять эту отображенную область, и, следовательно, в правых частях формул (4.7) вместо областей интегрирования нужно взять их соответственные образы .

Заметим, что формулы (4.6) и (4.7) замены переменных в интеграле остаются справедливыми и для сходящихся несобственных интегралов. Действительно, предельный переход, приводящий от собственного интеграла к несобственному, сохранит и равенства (4.6) и (4.7).