§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРАЛЕ ПО МЕРЕ

84. Постановка вопроса.

В п° 83 был указан способ вычисления интегралов в системе декартовых координат. Однако нередко область интегрирования относят к системе Не декартовых, а других координат. Интеграл (4.1) может

оказаться при этом в том или ином отношении более простым. Таким образом, возникает следующая важная задача.

Дан интеграл (4.1):

в системе декартовых прямоугольных координат; требуется найти выражение для этого интеграла в другой заданной системе координат, т. е. при условии, что координаты точки Р области Е заменяются по заданным формулам.

Эта задача называется заменой переменных в интеграле.

Ввиду того, что криволинейные интегралы по длине легко сводятся к обыкновенным интегралам, а и нтеграл по площади поверхности — к двойным интегралам (ей. то мы прежде всего будем предполагать, что областью интегрирования является либо интервал оси, либо область плоскости, либо область пространства:

Итак, пусть переменные (либо х, либо х, у, либо у, z) заменяются новыми переменными (либо u, либо u, v, либо ) соответственно по формулам:

Эти равенства называются формулами преобразования интеграла или, точнее, формулами замены переменных в интеграле.

Так же как и при преобразовании дифференциальных выражений (см. гл. 111), здесь чаще всего удобнее именно так задавать формулы преобразования, т. е. выражать данные переменные («старые») через вводимые переменныё («новые»), а не наоборот.

Формулы (4.5) можно записать при помощи единого символического равенства (см. подстрочное примечание на стр. 70);

где Р — точка с декартовыми координатами — соответствующая ей, в силу закона (4.5), точка с декартовыми координатами