Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина

Научная библиотека

Научная библиотека

Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина

Бермант А.Ф. – Отображения. Криволинейные координаты. Преобразования. Формулы Грина. Физматлиз. 1958. - 308 с.

В книге излагается учение о преобразованиях аналитических выражений к криволинейным координатам, о некоторых других важных преобразованиях и дается совокупность сведений и знаний по дифференциальному и интегральному исчислению для систем функций, опирающихся на учение о преобразованиях. Содержание книги в основном относится к классическому анализу, но всему изложению придается, по возможности, характер современных геометрических представлений.

Книга должна заполнить пробел между общим втузовским курсом математического анализа и такими науками, как векторный анализ, теория функций комплексной переменной, дифференциальные уравнения математической физики и т.п., необходимыми для специальных дисциплин.

Книга написана подробно и обстоятельно с расчетом на то, что по имеющимся в ней вопросам она сможет служить развернутым справочным пособием.

Круг читателей: инженеры, физики, механики, студенты старших курсов вузов и аспиранты.

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ОТОБРАЖЕНИЯ. ЯКОБИАН
1. Определения. Аффинные отображения.
2. Графики.
3. Обращение. Гомеоморфизм.
4. Суперпозиция.
§ 2. КОЭФФИЦИЕНТ ИСКАЖЕНИЯ И ПРОИЗВОДНАЯ
6. Направление перемещения. Обратное отображение.
7. Суперпозиция.
§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛУЧАЕ
9. Обращение.
10. Гомеоморфизм.
11. Суперпозиция.
§ 4. АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
13. Равномерно распределенные точки.
14. Коэффициент искажения.
15. Направление перемещения.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ АФФИННЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ
17. Сохранение площади. Движение.
18. Отображения гомотетии и подобия.
19. Свойства определителя.
§ 6. КОЭФФИЦИЕНТ ИСКАЖЕНИЯ (ОБЩИЙ СЛУЧАЙ) И ЯКОБИАН. РЕГУЛЯРНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
21. Обобщение.
22. Направление перемещения.
23. Регулярные отображения.
§ 7. СВОЙСТВА ЯКОБИАНА
25. Якобиан обратного отображения.
26. Суперпозиция.
§ 8. ВЫРОЖДЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ЗАВИСИМОСТЬ ФУНКЦИИ
28. Зависимость функций.
§ 9. ОТОБРАЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕННОМ СЛУЧАЕ
30. Свойства якобиана. Зависимость функций.
ГЛАВА II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ
32. Функциональная шкала
§ 2. ПЛОСКИЙ СЛУЧАЙ
33. Определения. Координатные линии.
34. Ортогональность системы.
35. Коэффициенты Ламе.
36. Элементы длины и площади.
37. Другой вывод.
§ 3. ВАЖНЕЙШИЕ СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
38. Декартовы координаты.
39. Полярные координаты.
40. Обобщенные полярные координаты.
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ И ИХ ВЫРОЖДЕНИЯ
41. Общие эллиптические координаты.
42. Вырожденные эллиптические координаты. Униформизация.
§ 5. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
43. Параболические координаты.
44. Биполярные координаты.
§ 6. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ
45. Определения. Координатные поверхности и линии.
46. Ортогональность системы.
47. Коэффициенты Ламе.
§ 7. ЭЛЕМЕНТЫ ДЛИНЫ, ОБЪЕМА И ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
49. Элемент объема.
50. Другой вывод.
51. Элемент площади поверхности. Направляющие косинусы нормали.
52. Элемент площади поверхности в криволинейных координатах в пространстве.
§ 8. ВАЖНЕЙШИЕ СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
54. Цилиндрические координаты.
55. Сферические координаты.
56. Телесный угол.
57. Обобщенные сферические координаты.
§ 9. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ И ИХ ВЫРОЖДЕНИЯ
59. Вырожденные эллипсоидальные координаты. Униформизация.
60. Сферические координаты.
61. Вырожденные эллипсоидальные «вытянутые» координаты.
62. Вырожденные эллипсоидальные «сплюснутые» координаты.
$ 10. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
64. Параболоидальные координаты.
65. Тороидальные координаты.
66. Биполярные координаты.
67. Цилиндрические координаты.
ГЛАВА III. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ
69. Замена функции.
70. Замена независимой переменной и функции.
§ 2. СЛУЧАЙ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
71. Замена независимых переменных.
72. Замена функции.
73. Замена независимых переменных и функции.
§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ» И «УСЛОВИЙ РЕГУЛЯРНОСТИ»
75. Параметр второго порядка (лапласиан).
76. Условия регулярности.
§ 4. СЛУЧАЙ ТРЕХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ»
78. Преобразования «дифференциальных параметров».
79. Выражения лапласиана в известных криволинейных координатах.
ГЛАВА IV. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. ИНТЕГРАЛ ПО МЕРЕ ОБЛАСТИ
81. Основные свойства.
82. Вычисление интегралов.
83. Несобственные интегралы.
§ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ИНТЕГРАЛЕ ПО МЕРЕ
85. Преобразования в декартовых координатах.
86. Преобразования в криволинейных координатах.
§ 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ. ПРИМЕРЫ
88. Двойной интеграл.
89. Тройной интеграл.
§ 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТЕ
91. Определение и свойства интеграла.
92. Способы вычисления.
93, Интеграл как функционал. Дополнительные замечания.
§ 5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ
95. Определение и свойства интеграла.
96. Способы вычисления.
97. Дополнительные замечания.
§ 6. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ГРИНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ
99. Независимость интеграла от контура интегрирования.
100. Условие полного дифференциала. Формула Ньютона – Лейбница.
101. Применения. Задача термодинамики.
§ 7. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ
103. Независимость интеграла от контура интегрирования. Условие полного дифференциала. Формула Ньютона — Лейбница.
104. Формула Остроградского.
105. Независимость интеграла от поверхности интегрирования.
§ 8 ФОРМУЛЫ ГРИНА И ИХ ОБОБЩЕНИЯ
107. Плоский случай.
108. Пространственный случай.