108. Пространственный случай.
Возьмем формулу Остроградского в виде (4.23):
и положим 
где 
— функции независимых переменных 
и 
дважды непрерывно дифференцируемые в данной области 6 пространства 
ограниченной поверхностью 
Имеем:
и формула Остроградского перепишется так:
где
— лапласиан функции 
— нормальная производная функции 
на поверхности 
(имеется в виду, конечно, внешняя нормаль; II, 148), т. е. производная от функции 
по направлению внешней нормали к поверхности 
Если переставить местами функции 
то будем иметь:
Вычитая это равенство из предыдущего, получим:
Это и есть формула Грина в пространственном случае. Она позволяет тройной интеграл от известного «симметричного» дифференциального выражения второго порядка записать в виде интеграла по площади поверхности от некоторого также «симметричного» дифференциального выражения первого порядка.
Обобщим выведенную формулу Грина, заменив лапласиан 
линейным дифференциальным выражением второго порядка
где функции А, В, С, D, Е, F, О, H, K, L и 
независимых переменных 
и 
дважды непрерывно дифференцируемы
в области 6. Выражению 
отнесем выражение:
которое называется сопряженным ему. Раскрывая выражение 
получим:
Пользуясь этим, можно проверить, что понятие сопряженности взаимное: выражением, сопряженным выражению 
Если совпадает с 
то оно называется самосопряженным. Из равенства 
ясно, что необходимыми и достаточными условиями самосопряженности выражения 
служат равенства:
Значит, общий вид самосопряженного дифференциального выражения 
для трех независимых переменных таков:
При 
выражение обращается в лапласиан
Желая обобщить формулу Грина (4.33), найдем интеграл
для самосопряженного выражения 
После простых выкладок, аналогичных соответствующим выкладкам в плоском случае, получим:
или
если обозначить:
По формуле Остроградского находим:
Итак,
где 
определяются по формулам (4.34) и (4.35). Это — обобщенная формула Грина в пространственном случае. При 
из нее получается формула Грина (4.33).
