§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ» И «УСЛОВИЙ РЕГУЛЯРНОСТИ»
Рассмотрим преобразования к новым («ортогональным») независимым переменным двух дифференциальных выражений, играющих важную роль во многих вопросах анализа:
где 
функция независимых переменных х и у; они называются иногда дифференциальными параметрами Ламе для функции 
соответственно первого и второго порядков и обозначаются через 
Заметим, что 
есть не что иное, как 
(см. 
— так называемый лапласиан для функции 
, который часто, если нет опасности смешения понятий, обозначается с помощью символа 
без индекса 2, т. е.
Кроме того, мы выразим в криволинейных (ортогональных) координатах условия регулярности плоского отображения.
74. Параметр первого порядка.
Преобразуем параметр первого порядка
к новым независимым переменным 
при условии, что они образуют систему криволинейных ортогональных координат:
причем
(п°34). В соответствии с равенствами (3.10) имеем:
раскрывая квадраты якобианов в числителе и прянимая во внимание условие ортогональности, находим:
где 
— коэффициенты Ламе данной системы координат (п°35). Квадрат же якобиана в знаменателе в случае ортогональности системы, как известно (п°36), равен 
что легко проверить и непосредственно. Поэтому
где 
-дифференциальные параметры первого порядка системы» и так как 
то
В частности, если 
(и, значит, 
т. е. если данная система координат (3.18) определяет регулярное отображение (см. п°23) , то 
остается
при преобразовании (3.18) «с точностью до масштабного множителя» инвариантным:
При 
имеет место полная инвариантность. Это будет, например, при простом передвижении системы декартовых прямоугольных координат, когда (см. п° 38):
причем
Если 
— полярные координаты, то (см. п°39)
Принимая обычные обозначения 
для полярных координат, можем записать:
