§ 6. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ СЛУЧАЙ

45. Определения. Координатные поверхности и линии.

Возьмем отображение

гомеоморфное в некоторой области 6 пространства и какую-нибудь ее точку пусть образом этой точки служит точка , а образом области 6 — область 2 пространства . Так как каждой точке области 2 соответствует единственная точка то числа (прямоугольные декартовы

координаты точки совместно с системой (2.19) точно указывают положение точки в области 6. Числа и называются криволинейными координатами точки

Определение. Криволинейными координатами точки Р, имеющей в качестве прямоугольных декартовых координат числа называются прямоугольные декартовы координаты точки — образа точки Р — при отображении (2.19) (гомеоморфном в некоторой области 6).

Числа мы вправе назвать координатами точки Р (в области 6), потому что по заданной точке Р можно из формул (2.19) найти соответствующие ей единственные значения и , наоборот, по заданным числам можно найти соответствующую им единственную точку Р (например, предварительно найдя по из формул (2.19) единственные значения — прямоугольные координаты точки Поэтому точку Р можно обозначить так:

Определение. Множество точек области 6, имеющих одну из своих криволинейных координат постоянной или или называется координатной поверхностью в данной системе криволинейных координат, а множество точек области 6, имеющих две из своих криволинейных координат постоянными или называется координатной линией в данной системе криволинейных координат.

Координатные поверхности в пространстве определяются соответственно уравнениями:

координатные линии являются пересечениями соответствующих координатных поверхностей и определяются такими системами уравнений:

Совершенно ясно, что координатные поверхности (2.19) в данной системе это не что иное, как поверхности уровня (II, 143) соответствующей функции.

Координатными поверхностями (линиями) служат, вообще говоря, кривые поверхности (линии), но в частном случае аффинного отображения (п° 29) они — плоскости (прямые); в заданной декартовой прямоугольной системе координатные поверхности суть плоскости, параллельные плоскостям а именно: координатные линии суть прямые, параллельные осям а именно:

Координатные поверхности криволинейной системы координат в пространстве являются отображениями плоскостей параллельных плоскостям т. е. координатных поверхностей прямоугольной системы координат в пространстве а координатные линии — отображения прямых параллельных осям координатных линий прямоугольной системы координат в пространстве

При различных значениях (таких, что соответствующая точка не выходит из области 6) образуются три системы координатных поверхностей, покрывающих область 6 и разбивающих ее кривые шестигранники (черт. 19); если функции (2.19) линейные (отображение аффинное), то эти шестигранники — параллелепипеды.

Каждая из координатных поверхностей отмечена числом или или указывающим постоянное значение, которое имеет на этой поверхности функция или или Эти числа и являются криволинейными координатами точки, лежащей на пересечении соответствующих координатных поверхностей (или линий) (черт. 19).

Черт. 19.

И здесь можно дать определение, аналогичное определениям в линейном и в плоском случаях

Определение. Область 6 пространства точка которой отменены их криволинейными координатами называется функциональной шкалой для обратной системы функций

По функциональной шкале значения аргументов прямо прочитываются, а соответствующие значения функций находятся при помощи измерений расстояний этой точки от плоскостей координат

В некоторых случаях криволинейные координаты в пространстве имеют простой и наглядный геометрический смысл (см. ниже § 8).

Итак, в первой изложенной нами интерпретации системы «функций (2.19):

(см. гл. I), величины и (подобно величинам x, у и рассматриваются в качестве прямолинейных (и прямоугольных) координат. При этом равенства (2.19) являются формулами отображения заданной области в новую область. Во второй описанной только что интерпретации величины и рассматриваются в качестве новых криволинейных координат точки, имеющей своими прямолинейными координатами величины и При этом равенства (2.19) являются формулами преобразования (замены) заданной системы координат в новую систему.

Коротко скажем, что на равенства (2.19) можно смотреть либо как на формулы, преобразующие область при одной и той же системе координат (декарто-бой прямоугольной), либо как на формулы, преобразующие систему координат воднойи той же области

Иногда могут быть одновременно употреблены обе указанные интерпретации.