§ 5. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО КООРДИНАТАМ

94. Ориентация поверхности.

Наряду с понятием интеграла взятого по ориентированной одномерной области (линиц), введем понятие интеграла, распространенного по ориентированной двумерной области (поверхности). Для этого установим аналогично линейному случаю ориентацию (направление) поверхности и правило проектирования ориентированного элемента поверхности на координатную плоскость.

Займемся сначала первым вопросом — ориентацией поверхности.

Ориентацию поверхности мы определим аналогично тому, как мы определяем ориентацию линии по направлениям ее нормалей (т. е. по «стороне» линии, см. стр. 247);

Для этого прежде всего необходимо потребовать, чтобы направление нормали всегда однозначно указывало «сторону» поверхности; другими словами, нужно потребовать, чтобы после любого непрерывного перемещения точки по поверхности и возвращения в исходное положение (при непрерывном

изменении направления нормали) мы приходили бы к исходному же, а не к противоположному направлению нормали. Такое требование не является надуманным, поскольку существуют поверхности, ему не удовлетворяющие. (Подобное требование не возникает в случае линии, так как нормаль к линии обязательно совпадает сама с собой, как только точка возвратится в исходное положение.)

Простейшим примером особенных поверхностей, не удовлетворяющих высказанному требованию, может служить так называемый лист Мёбиуса — поверхность, которую можно ясно себе представить по ее модели; последнюю легко сделать из прямоугольной полоски бумаги, склеив ее так же, как и при изготовлении модели цилиндра, только предварительно один раз перекрутив эту полоску (черт. 29). Выйдя из какой-нибудь точки М листа Мёбиуса с опреде-. ленным направлением нормали, можно, соблюдая указанную непрерывность и нигде не пересекая границы листа, придти в ту же точку с противоположным направлением нормали (черт. 29). Таким образом, взятое направление нормали еще не характеризует «стороны» листа Мёбиуса. Подобные поверхности называются односторонними.

Черт. 29.

Пусть теперь подвижная точка после описанного непрерывного перемещения по произвольному пути на поверхности, не пересекающему ее границы, возвращается в свое исходное положение; если при этом направление нормали всегда совпадает с исходным направлением, то такая поверхность называется двусторонней. Мы будем иметь в виду исключительно двусторонние поверхности. Выбор направления нормали в любой точке двусторонней поверхности ориентирует поверхность указывая одну из ее сторон.

Ориентированная двусторонняя поверхность — это поверхность, на которой выбрана определенная сторона.

Вслед за этим уже можно дать и другое определение ориентации поверхности, аналогичное первоначальному определению («по касательным») ориентации линии Для этого условимся раз и навсегда, что направление движения по замкнутой линии на поверхности и направление нормали к поверхности в любой точке внутри этой линии образуют «правый винт», т. е. систему, ориентированную подобно принятой правой системе координат Oxyz.

Значит при этом условии по заданному направлению нормали легко узнать направление движения по замкнутой линии на поверхности и, наоборот, по направлению этого движения — направление нормали к поверхности.

Итак, ориентацию двусторонней поверхности при наших соглашениях можно задать направлением перемещения («вращения») по границе окрестности какой-нибудь одной точки поверхности.

Отсюда вытекает и следующее наглядное правило для определения ориентации незамкнутой двусторонней поверхности: если человек движется по границе поверхности в таком направлении, что поверхность остается слева от него, то направление от ног к голове указывает сторону поверхности, ориентирующую ее.

Замкнутую поверхность обычно считают положительно риентированной, если указана (выбрана) ее «внешняя сторона», т. е. сторона, обращенная к внешнему пространству (ср. стр. 247). Противоположная ориентация замкнутой поверхности называется отрицательной.

Перейдем ко второму вопросу — проектированию направленного элемента поверхности на координатные плоскости.

Так как мы рассматриваем ориентированную поверхность, то следует считать ориентированной и проекцию ее элемента, именно, эта проекция должна иметь знак, причем естественно, полагать, что он должен определяться направлением нормали, ориентирующим поверхность. Мы условимся о. следующем: под проекцией на координатную плоскость (например, на плоскость элемента ориентированной поверхности мы понимаем площадь обычной геометрической (ортогональной) проекции данного элемента на данную плоскость, снабженную знаком

плюс или минус; знак плюс берется в случае, когда направленная нормаль образует острый угол с координатной осью, перпендикулярной к плоскости проекции (например, с осью Oz), а знак минус — когда этот угол тупой.

Таким образом, мы принимаем, что

где — угол, образованный ориентированной нормалью к поверхности в точке Р с осью, перпендикулярной к плоскости проекции (черт. 30).

Черт. 30.

Вполне аналогичную формулу мы имели для случав линии стр. 252).

Для плоскости в системе декартовых прямоугольных координат элемент площади равен причем мы всегда до сих пор полагали, что это выражение положительное; но если учитывать ориентацию плоскости , т. е. различать ее верхнюю и нижнюю стороны, то выражении нужно, в согласии с принятым условием, приписать знак плюс для верхней стороны, знак минус для нижней стороны. Подобное замечание относится и к плоскостям Итак, в дальнейшем предполагается снабженным определенным знаком, и мы имеем:

аналогично

где -углы, образованные ориентированней нормалью к поверхности в точке Р соответственно с осями (ср. п°51).

Полезность наших соглашений в двумерном случае видна хотя бы из того, что они, ориентируя элементы площади самих координатных плоскостей, устанавливают аналогию с тем, что имеет место в одномерном случае. Дело в том, что проекция или или направленного элемента линии не нуждается в специальном соглашении о знаке — она ориентирована автоматически, а именно: она положительна или отрицательна в зависимости от того, острый или тупой угол образует ориентированная касательная к линии с осью проекции (или, что все равно в плоском случае, ориентированная нормаль к линии с осью, перпендикулярной к оси проекции).