75. Параметр второго порядка (лапласиан).
Преобразуем параметр второго порядка (лапласиан функции 
к тем же переменным 
что и в 
Для этого сложим первые два равенства (3.11):
Так как система координат 
предположена ортогональной, то (см. п°34) остальные, невыписанные члены в сумме 
равны нулю; кроме того,
и значит, нам остается найти выражения через 
только для 
. С этой целью в тождестве 
положим последовательно 
тогда получим:
Из этих двух равенств найдем 
проще всего это сделать так: умножим первое равенство на 
а второе на 
и сложим:
Но мы имеем:
вследствие ортогональности системы (3.18);
что проверяется прямым дифференцированием
по 
что проверяется прямым дифференцированием сначала 
по 
а затем по 
. Подставляя в равенство 
находим:
Совершенно аналогично
Заменяя в равенстве 
получим:
что можно переписать так:
или еще короче и обозримее:
Это и есть то выражение для лапласиана в криволинейных ортогональных координатах, которое мы хотели вывести.
В частности, если 
(и, значит, 
), т.е. если данная система координат определяет регулярное отображение, то 
остается при преобразовании (3.18) «с точностью до масштабного множителя» инвариантным:
При 
имеет место полная инвариантность. Это будет, например, при простом передвижении системы декартовых прямоугольных координат.
Сформулируем полученный результат для случая регулярного отображения.
Пусть область в плоскости 
регулярно отображена в область плоскости 
что все равно, она отнесена к системе криволинейных ортогональных координат 
с равными коэффициентами Ламе. Тогда отношение дифференциального параметра Ламе первого порядка в переменных 
к такому же параметру в переменных 
равно коэффициенту искажения при переходе из плоскости 
в плоскость 
То же самое имеет место и для параметра Ламе второго порядка (лапласиана).
Действительно, при этом
Из формулы (3.20), в частности, следует, что если функция 
гармоническая в переменных х и у, то она будет гармонической и в переменных 
это кратко выражают словами: свойство гармоничности функции сохраняется при регулярном отображении.
Зная коэффициенты Ламе для употребительных систем криволинейных ортогональных координат на плоскости, рассмотренных в §§ 3—5 гл. II, можно легко, по общей формуле (3.19), записать выражения для лапласиана в данной системе координат 
I. В полярных координатах:
или в обычных обозначениях
II. В вырожденных эллиптических координатах:
III. В параболических координатах:
IV. В биполярных координатах:
Последние три системы координат характерны тем, что 
т. е. что определяемые ими отображения регулярны.
