19. Свойства определителя.

Рассмотрим два свойства определителя системы линейных функций, задающих аффинное отображение.

I. Найдем связь между определителями систем (1.8) и т. е. между определителями двух взаимно-обратных аффинных отображений. Имеем, в силу выражений для (стр. 38),

Мы видим, что определители взаимно-обратных отображений взаимно-обратны.

II. Возьмем суперпозицию аффинных отображений. Пусть отображения

и

служат промежуточными отображениями; они образуют суперпозицию, которая также является аффинным отображением. Действительно, подставляя выражения (1.19) для в выражения (1.18), получим:

где

Обратно, всякое данное аффинное отображение (1.20) можно представить бесчисленным множеством способов в виде суперпозиции других аффинных отображений, в частности можно разложить его на примитивные аффинные отображения. Например, в соответствии со сказанным в об отыскании

промежуточных примитивных отображений нетрудно указать примитивные аффинные отображения (считая ):

суперпозицией которых будет данное аффинное отображение (1.20).

Каждое примитивное аффинное отображение представляет собой зависящее от параметра линейное отображение, преобразующее монотонным образом отрезок координатной линии (прямой) в отрезок координатной линии (также прямой).

Вычислим определитель системы (1.20) как суперпозиции систем (1.18) и (1.19):

Определитель справа, в силу известных свойств определителей, равен произведению определителей систем (1.18) и (1.19). Впрочем, здесь легко убедиться в этом и непосредственно, а именно: так как

то

Таким образом, определитель системы (1.20) равен произведению определителей систем (1.18) и (1.19). В частности, коэффициент искажения суперпозиции (произведения) аффинных отображений равен произведению коэффициентов искажений промежуточных аффинных отображений.