§ 5. ДРУГИЕ СИСТЕМЫ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

43. Параболические координаты.

Рассмотрим криволинейные координаты заданные такой системой равенств (см. п°9)

причем . Эти координаты называются параболическими.

Координатными линиями служат две системы взаимноортогональных парабол, с осями симметрии, лежащими на оси и направленными в сторону положительных для одной системы и в сторону отрицательных для второй системы. Действительно, если то, исключая из двух равенств получим:

т. е. уравнение параболы, у которой осью служит интервал оси а параметр равен . С увеличением до 0 и от 0 до переменная парабола два раза выметет всю плоскость Если то, исключая из двух равенств (2.17) и, получим:

т. е. уравнение параболы, у которой осью служит интервал а параметр равен . С увеличением от нуля до переменная парабола выметет всю плоскость Оху. Но, приписывая частям параболы

принадлежащим верхней и нижней полуплоскостям соответственно индексы мы получим систему криволинейных координат (параболических) (2.17), в которой каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел и и и обратно; исключение составляет положительная полуось в каждой ее точке координата равна нулю, а координата и может принимать два значения, именно Если приближаться к точке положительной полуоси из верхней полуплоскости (т. е. при у > 0), то следует считать (по непрерывности), что а если приближаться к этой точке из нижней полуплоскости (т. е. при у < 0), то в силу того же соображения следует считать, что Параболическая координата и как функция точки на плоскости разрывна на полуоси при переходе точки через эту полуось функция получает приращение, равное

В данном случае легко найти обратную систему функций:

причем берется знак для и знак — для Из рассмотрения системы (2.17) мы приходим к тем же выводам, что и выше.

Система функций (2.17), (2.17) гомеоморфно отображает всю плоскость из которой удалена положительная полуось в верхнюю полуплоскость При этом верхняя сторона полуоси отображается в положительную полуось , а ее нижняя сторона — в отрицательную полуось . Сравнивая рассмотренную систему (2.17) с примером в п° 9, нетрудно обнаружить, что здесь только поменялись местами плоскости

Проверим ортогональность системы параболических координат; имеем:

откуда

Отображение (2.17) — регулярное.

Черт. 17.

Найдем величины для параболических координат:

и значит,

Для получаем выражения: