62. Вырожденные эллипсоидальные «сплюснутые» координаты.

Пусть по-прежнему . Положим:

что не нарушает условий (а) п° 58. Тогда равенства (2.42) принимают вид:

Считая здесь, что и найдем:

Эта система определяет криволинейные координаты которые называются вырожденными эллипсоидальными («сплюснутыми») координатами.

Меняя обозначения осей координат и отбрасывая индекс запишем систему так, как она чаще всего встречается:

причем

Координаты иногда обозначаются соответственно через

Координатными поверхностями служат:

— эллипсоид вращения («сплюснутый»):

(при ) с фокусами в точках

— полуплоскость:

при проходящая через ось (здесь также, можно рассматривать как долготу точки, т. е. как полярный угол проекции данной точки на плоскость

3) w = const — однополостный гиперболоид вращения:

при » с фокусами в тех же точках

Находим величины для вырожденных эллипсоидальных («сплюснутых») координат:

и значит,

Далее получаем:

Так же как и в случае «вытянутых» координат, формулы (2.49), связывающие декартовы координаты с вырожденными эллипсоидальными («сплюснутыми») координатами, гомеоморфно преобразовывают область 6, являющуюся всем пространством лишенным положительной полуплоскости в область пространства определяемую соотношениями:

Каждой точке области И соответствует единственная тройка «сплюснутых» координат (в точках особой оси координата остается неопределенной). Обратно: каждой точке области пространства где — «сплюснутые» координаты, подчиненные условиям: соответствует единственная точка в пространстве

Итак, переход (отображение) (2.48) из пространства общих эллипсоидальных координат в пространство «сплюснутых» координат упрощает и формулы преобразования

и выражения для а также значительно расширяет область гомеоморфизма в пространстве

Таким образом, «сплюснутые» координаты получаются из эллипсоидальных координат в указанном предельном случае являясь униформизирующими переменными.