38. Декартовы координаты.

Декартовыми координатами на плоскости вообще называются величины и и через которые данные декартовы прямоугольные координаты выражаются так:

где — постоянные и якобиан

отличен от нуля. Эта система легко обращается:

где — постоянные и якобиан

также отличен от нуля.

С одной стороны, системы (2.10) и (2.10) определяют невырожденное аффинное отображение плоскости в плоскость . С другой стороны, они определяют «криволинейные» координаты во всей плоскости которые, впрочем, являются прямолинейными. В самом деле, координатными линиями служат две системы прямых параллельных соответственно прямым:

так что декартовой системой можно назвать любую «прямолинейную» систему, т. е. систему, координатными линиями которой служат прямые линии.

Система (2.10) в общем случае не является ортогональной. Действительно, мы имеем выражение (см. (2.4))

которое, конечно, не всегда равно нулю. Угол а) между координатными линиями может быть найден из формулы

откуда снова видно, что условием ортогональности служит равенство . В частности, этому условию удовлетворяют коэффициенты всякого «подобного аффинного отображения» (§§ 5, 8 гл. I) и, значит, коэффициенты известных из элементарного курса аналитической геометрии преобразований декартовых координат.

Декартовы координаты имеют простой геометрический смысл. Если прямые (2.11) принять за новые оси координат, то новые координаты точки (в системе )

выражают проекции (в общем случае косоугольные) радиуса-вектора на новые оси координат (черт. 11).

Черт. 11.

Это особенно наглядно видно в случае ортогональности систем (2.10), (2.10). Перепишем первое из уравнений (2.10) так:

полагая (что возможно)

а также обозначая

получим:

Можно считать, что — направляющие косинусы вектора, нормального к прямой т. е. что угол между осью и осью

Аналогично

где новые обозначения имеют смысл, подобный смыслу обозначений в выражении для и.

Теперь условие ортогональности запишется так:

т.е.

откуда что должно быть понятным без дальнейших разъяснений. Для простоты положим ; это означает, что начало координат О новой системы совпадает с началом О данной системы Но тогда величина

являясь скалярным произведением единичного вектора нормали к прямой и вектора выражает проекцию этого вектора на направление указанной нормали, т. е. на ось координат следовательно, служит обычной (прямоугольной) декартовой координатой точки Р по этой оси. То же самое относится и к величине

Итак, система координат есть система декартовых прямоугольных координат, ось которой образует с осью угол Если или не равно нулю, то система

координат параллельна системе причем начало координат О имеет такие координаты: Система координат отличается от системы только масштабами по осям координат. Единицы длины по осям равны соответственно единицам длины по осям

Таким образом, любая прямолинейная и ортогональная система координат может быть получена из данной декартовой ортогональной системы координат передвижением этой системы на плоскости («параллельным сдвигом» и «вращением» вокруг неподвижного начала координат) и изменением масштаба по осям координат.

Если то мы имеем хорошо известный из аналитической геометрии случай преобразования декартовых прямоугольных координат (при этом масштаб сохраняется).

Обычно новые декартовы координаты обозначают буквами

Найдем величины и для декартовых (ортогональных) координат:

и, значит, 4

Следовательно,

Еели масштабы не изменяются, т. е. , то