ГЛАВА II. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ

Систему, в которой столько же функций, сколько и независимых переменных (т. е. одну функцию от одной переменной, пару функций от двух переменных, тройку функций от трех переменных и т. д.), можно интерпретировать иначе, чем это мы делали до сих пор. Мы считали во всем предыдущем, что такая система функций задает отображение некоторой области в соответствующем пространстве, вообще говоря, в область же этого пространства. Но часто употребляется и другая интерпретация, когда считают, что указанная система функций задает систему криволинейных координат в рассматриваемой области. Изучим эту интерпретацию применительно к линейному, плоскому и пространственному случаям, к каждому из них в отдельности.

§ 1. ЛИНЕЙНЫЙ СЛУЧАЙ

31. Определение.

Возьмем отображение

гомеоморфное в некотором интервале оси Ох, и какую-нибудь его точку пусть образом этой точки служит точка а образом интервала -интервал X оси Так как каждой точке интервала соответствует единственная точка то число (координата точки совместно с функцией (2.1) точно указывают положение точки в интервале Число и называется криволинейной координатой точки поэтому

точку можно обозначить так: Число мы вправе назвать координатой точки интервале потому что по заданной точке можно из формулы (2.1) найти ее единственную координату , наоборот, по заданной криволинейной координате можно найти соответствующую ей единственную точку интервале Последнее можно сделать, например, предварительно найдя по из формулы (2.1) единственное значение -прямолинейную координату точки Отметив точку числом мы указываем ее «числовой адрес»; число дает «расстояние» точки от начала координат (точки О) в некотором особом «масштабе», определяемом данной функцией длина отрезка при этом равна гделг решение уравнения (2.1) относительно Прямолинейная же координата дает «расстояние» точки от начала координат в равномерном «масштабе», когда длина отрезка равна просто