105. Независимость интеграла от поверхности интегрирования.

Рассмотрим поверхностный интеграл:

взятый по какой-нибудь поверхности принадлежащей некоторой односвязной пространственной области 6 и «на-тянутой» на данную линию этой области. Интеграл является, вообще говоря, функционалом от поверхности т. е. его значение зависит от всей поверхности интегрирования 5. Представляет интерес вопрос, подобный тому, который возникает при рассмотрении криволинейных интегралов: об условиях, относящихся к функциям при которых интеграл не зависит от всей поверхности интегрирования а зависит только от ее границы Другими словами, это вопрос о том, при каких условиях интеграл есть функционал не от поверхности, а от линии. Заметим, что утверждение о независимости интеграла (4.24) от поверхности интегрирования в области 6 равносильно утверждению о равенстве нулю этого интеграла по любой замкнутой поверхности в области 6. Поставленный вопрос решается следующей теоремой: Теорема. Для независимости поверхностного интеграла (4.24) от поверхности интегрирования, принадлежащей односвязной области или, что все равно, для равенства его нулю по любой замкнутой поверхности, принадлежащей односвязной области 6, необходимо и достаточно, чтобы функции имеющие непрерывные частные производные первого порядка, тождественно удовлетворяли в области 6 соотношению

На основании формулы Остроградского достаточность условия (4.25) ясна; необходимость же обнаруживается методом от противного, как и в аналогичных обстоятельствах в формулах Грина и Стокса.

В частности, проверим на основании только что изложенной теоремы замечание, высказанное на стр 285, о том, что поверхностный интеграл в левой части формулы Стокса (4.17) обращается в нуль для всякой замкнутой поверхности. Действительно, для этого интеграла условие (4.25) выполняется:

если, правда, допустить еще непрерывность вторых смешанных частных производных от функций и этом добавочном допущении доказательство, основанное на формуле Стокса, как легко видеть, не нуждается.