§ 3. ОТОБРАЖЕНИЯ В ПЛОСКОМ СЛУЧАЕ

8. Определения.

Рассмотрим теперь пару функций и и

двух независимых переменных Допустим, что каждая из этих функций определенна, однозначна и непрерывна в некоторой области изменения точки плоскости, снабженной системой декартовых координат (областью может быть вся плоскость , а также какая-нибудь ее бесконечная часть).

Каждой точке области система функций ставит в соответствие единственную точку плоскости, снабженной системой декартовых координат координаты точки находятся из равенств (1.6) по координатам точки (черт. 3).

Множеству всех точек Р области соответствует некоторое множество точек плоскости Если функции и — константы, то множество состоит из одной точки. Если константой является одна из этих функций, скажем то множество есть интервал оси, параллельной оси (в частности, при совпадающей с осью Может также случиться, что множество будет лежать вообще на какой-нибудь линии, не обязательно прямой. Но при соблюдении

известных условий относительно функций и (см. § 8), исключающих, между прочим, указанные только что случаи, множество точек А является также областью. Обычно именно это и встречается. Заметим еще, что мы предполагаем границы и Л задаваемых областей, также как и любые употребляемые в книге линии, кусочно-гладкими кривыми линиями (I, 54).

Черт. 3.

Определение. Точка изображающая на плоскости систему значений функций и соответствующая точке на плоскости называется отображением (или образом) точки Р, а точка ригиналом (или прообразом) точки Область А — множество точек соответствующих всем точкам Р области называется отображением (или образом) области плоскости на плоскость а область — оригиналом (или прообразом) области

О функциях говорят, что они отображают или преобразуют точку в точку (в область А).

Термином отображение обозначают как самую область А, т. е. образ данной области, так и операцию перехода от области к области А. Если пара функций (1.6) рассматривается с точки зрения осуществляемого ею отображения, то она иногда называется просто отображением; например, можно сказать: «возьмем отображение

Отображение где однозначные и непрерывные функции,

называется однозначным и непрерывным. При непрерывном отображении непрерывные протяжения точек из области переходят в непрерывные же протяжения точек области Как и в линейном случае, указание только области и ее образа—области еще не устанавливает отображения, т. е. еще не определяет системы функций . В действительности имеется бесчисленная совокупность пар функций, непрерывно отображающих данную область на другую заданную область А. Однако в рассматриваемом плоском случае дело обстоит значительно сложнее, чем в линейном случае, и доказательство здесь существования отображений (при различных дополнительных условиях) составляет важную и трудную проблему математического анализа.

Усложнение вопроса в плоском случае видно хотя бы из того факта, что отображение данной области в другую заданную область А посредством линейных функций возможно только при особо благоприятных обстоятельствах (интервал же в интервал, как мы видели в § 1, всегда может быть отображен и с помощью линейной функции). Мы столкнемся еще и с другими проявлениями усложнений в плоском случае. Здесь мы лишены также и наглядной геометрической интерпретации, позволяющей видеть совместность точек соответствующих друг другу; для этой интерпретации потребовалось бы обратиться к пространству четырех измерений, не обладающему свойством физической наглядности.

Заметим, что к отображению одной области в другую область (в любом случае: линейном, плоском, пространственном) приводят различные физические задачи. Укажем, например, одну общую схему физического явления, связанную с отображением: непрерывно распределенная в одной области среда подвергается некоторым воздействиям, вследствие которых она изменяется и распределяется в другой области. Переход от одной области к другой, т. е. соответствующее отображение первой области во вторую, и характеризует с известной стороны совокупность имевших место воздействий.