59. Вырожденные эллипсоидальные координаты. Униформизация.

Выражения для упрощаются, если вместо переменных ввести другие переменные — обозначим их через -связанные с соотношениями:

Заметим, что связь между и может быть записана в другом виде, например так:

Подставляя выражения для в формулы для находим:

здесь и — функции соответственно от получаемые посредством обращения интегралов (2.44). Но эти интегралы эллиптические и указанные только что функции суть так называемые эллиптические функции, не являющиеся элементарными Однако эти

функции изучены с необходимой полнотой и они могут быть использованы с неменьшим успехом, чем элементарные функции. Оказывается, что введение вместо криволинейных координат криволинейных координат через которые выражаются при помощи эллиптических функций, позволяет не только упростить формулы для элементов длины, площади поверхности и объема, но и расширить область гомеоморфизма в пространстве Если в равенства (2.42) вместо подставить их выражения через правые части будут точными квадратами некоторых функций (доказательства мы приводить не будем). Таким образом, как и в случае эллиптических координат на плоскости для координат (а не их квадратов) получаются довольно простые однозначные выражения, составленные из эллиптических функций от координат Теперь уже областью гомеоморфизма будет служить не один октант, а все пространство за исключением лишь некоторого плоского множества точек. Таким образом, соотношения (2.44) являются униформизирующими формулами, а переменные униформизирующими переменными. Эти переменные также ваются эллипсоидальными координатами. Дальнейшие подробности относительно использования эллиптических функций при построении системы эллипсоидальных координат выходят за принятые границы нашего изложения.

Эллипсоидальные координаты зависят, как мы видели, от параметров подчиненных условиям: Распространяя определение координат на предельные случаи в этих соотношениях, т. е. на случаи, когда неравенства — одно, два или три — заменяются на равенства, приходим к системам координат, которые можно считать вырождениями системы эллипсоидальных координат. Разумеется, эти вырожденные системы координат остаются ортогональными.