99. Независимость интеграла от контура интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл

взятый по какой-нибудь линии принадлежащей некоторой односвязной области и соединяющей данные точки этой области. Как уже было отмечено, интеграл является, вообще говоря, функционалом от линии т. е. его значение зависит от всего контура интегрирования Представляет значительный интерес вопрос о том, при каких условиях, относящихся к функциям , интеграл не зависит от всего контура интегрирования а зависит только от его граничных точек и Р или только конечной точки Р, если начальная точка фиксирована. Другими словами, это вопрос о том, при каких условиях интеграл есть не функционал а функция точки т. е. функция двух независимых переменных х и у. Из дальнейшего будет ясно большое значение этого вопроса в теоретическом отношении, а сейчас лишь укажем на простом примере его значение в прикладном отношений.

Если служат проекциями некоторой силы на оси то интеграл выражает, как известно, работу, произведенную при перемещении из точки в точку Р по пути Следовательно, независимость интеграла от контура интегрирования означает, что работа будет одна и та же, по какому бы пути ни происходило перемещение под действием силы из точки в точку Р, а это, конечно, дает важную характеристику рассматриваемой силы.

Заметим, что утверждение о независимости интеграла (4.14) от пути интегрирования в области равносильно утверждению о равенстве нулю этого интеграла по любому замкнутому пути в области

В самом деле, пусть известно, что интеграл не зависит от контура интегрирования; покажем, что он равен нулю

по любому замкнутому контуру. Возьмем какой-нибудь замкнутый контур I (черт. 33) и отметим на нем две точки: и Р. Так как, по условию, интеграл по линии равен интегралу по линии

то

и, значит,

Обратно, пусть известно, что интеграл обращается в нуль по всякому замкнутому контуру; покажем, что он не зависит от контура интегрирования. Возьмем какие-нибудь два контура (черт. 33), соединяющих две заданные точки и Р. Так как, по условию, интеграл по замкнутой линии равен нулю:

т. е.

то

Черт. 33.

Поставленный выше вопрос решается следующей основной теоремой.

Теорема. Для независимости криволинейного интеграла от контура интегрирования, принадлежащего односвязной области или, что все равно, для равенства его нулю по любому замкнутому контуру интегрирования, принадлежащему односвязной области необходимо и достаточно, чтобы функции имеющие непрерывные частные производные первого порядка, тождественно удовлетворяли в области соотношению

Доказательство. Возьмем в области какую - нибудь замкнутую линию . В силу условий теоремы справедлива основная формула Грина (4.11):

где — область, ограниченная контуром Отсюда сразу видна достаточность условия (4.15): раз оно имеет место, то двойной интеграл справа, а значит и криволинейный интеграл слева, равен нулю.

Необходимость условия (4.15) доказывается рассуждением «от противного». Пусть интеграл (4.14) по любому замкнутому пути в области равен нулю, а условие (4.15) не выполняется в некоторой точке Р области т. е.

Допустим, например, что Благодаря непрерывности частных производных, а стало быть и выражения можно указать такую область — окрестность точки что в этой окрестности

где — заранее данное положительное число. По формулеч Грина, используя свойство ограниченности двойного интеграла III), находим:

где — граница области Но это противоречит предположению, что рассматриваемый интеграл равен нулю для всякого замкнутого контура, и значит, выражение должно в области тождественно обращаться в нуль.

Если интеграл (4.14) не зависит от контура интегрирования, то в его обозначении можно оставить лишь указания начальной и конечной точек.