65. Тороидальные координаты.

Криволинейные координаты через которые декартовы прямоугольные координаты выражаются при помощи соотношений:

причем называются тороидальными. Прямой подстановкой можно проверить, что координатными поверхностями в этой системе служат:

1) — тор

полученный от вращения окружности вокруг оси (окружность не пересекает ось ибо

2) полуплоскость:

проходящая через ось и образующая угол с положительной полуплоскостью

3) — сфера:

с центром в точке и радиусом, равным

Из уравнений видно, что каждой тройке тороидальных координат соответствует единственная тройка декартовых координат Решая же эти уравнения (или, что все равно, уравнения координатных поверхностей) относительно приходим к заключению, что и каждой тройке декартовых координат (кроме тех, у которых соответствует единственная тройка координат подчиненная указанным выше ограничениям. Следовательно, все пространство лишенное положительной полуплоскости гомеоморфно отображается системой функций (2.52) в область пространства определяемую неравенствами: (бесконечный лежащий прямоугольный параллелепипед). Ось и для системы тороидальных координат (2.52) является особой линией: в ее точках координата остается неопределенной.

Легко убедиться прямыми вычислениями, что условия ортогональности (2.21) выполняются. Далее получаем такие выражения

для величин