§ 7. ФОРМУЛЫ СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ

102. Формула Стокса.

Обратимся к формуле Стокса, обобщающей основную формулу Грина.

Теорема, Имеет место следующая формула:

называемая формулой Стокса. Здесь — функции точки в пространственной области 6, содержащей данную поверхность непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка, а линия — граница поверхности Ориентации поверхности и линии согласованы между собой в смысле

(стр. 257), так что человек, находящийся на той стороне поверхности по которой производится поверхностное интегрирование, перемещаясь по линии в направлении криволинейного интегрирования, должен оставлять поверхность слева.

Черт. 34.

Доказательство. Предположим сначала, что поверхность (черт. 34) односвязна и пересекается с любой прямой, параллельной оси не более чем в одной точке. Пусть тогда уравнение поверхности Возьмем составной поверхностный интеграл

и преобразуем его, допуская на время, что берется верхняя сторона поверхности Выразим элемент через элемент имеем (п° 94, стр. 258—259):

где — направляющие косинусы ориентированной нормали к поверхности относительно осей — элемент площади поверхности Значит,

а так как , то

и, следовательно,

Приведем этот поверхностный интеграл двойному. Для этого в подынтегральной функции заменим переменную ее выражением через х и у согласно уравнению поверхности интегрирования 5. Но при этом подынтегральная функция окажется равной частной производной по у от сложной функции, получающейся из после подстановки вместо Действительно,

Таким образом, полагая имеем:

где — проекция поверхности на плоскость (см. черт. 34), а интегрирование в согласии со сделанным допущением производится по верхней стороне плоскости т. е. последний интеграл есть просто двойной интеграл (по «площади» области Применяя формулу Грина стр. 267), получим:

где -граница области которой, очевидно, служит проекция пространственной линии на плоскость и интегрирование производится в положительном направлении линии

Криволинейный интеграл в правой части последней формулы равен, как легко заметить, интегралу от функции взятому по линии в направлении, соответствующем положительному направлению на линии (см.

черт. 34), — оно как раз и соответствует верхней стороне поверхности

Итак,

Перемена стороны поверхности (верхней на нижнюю) повлечет за собой для сохранения этой формулы перемену направления на линии L. В этом и сказывается согласованность направлений интегрирований по приведенному выше правилу.

Заметим далее, что формула верна для любой (рассматриваемой нами) поверхности а не только такой которая встречает всякую прямую, параллельную оси не более чем в одной точке. Доказать это можно совершенно так же, как и в случае формулы Грина

Справедливы, разумеется, еще две формулы:

Сложив почленно формулы мы и придем к формуле Стокса.

Она имеет место и для неодносвязных поверхностей и для сходящихся несобственных интегралов.

Для запоминания формулы Стокса обратим внимание на то, что третий член за символом поверхностного интеграла в формуле Стокса таков же, как и в формуле Грина, а два других получаются из него круговой перестановкой букв кроме того, можно заметить, что за символом поверхностного интеграла заглавные буквы (в числителях) расположены в последовательности а строчные буквы (в знаменателях) в каждой скобке повторяют заглавные буквы, но в обратном порядке.

Очевидно, формула Стокса обращается в формулу Грина при

Из формулы Стокса сразу следует, что поверхностный интеграл левой части (4.17) для всякой замкнутой поверхности равен нулю.

Запишем формулу Стокса с помощью интегралов по мере. Так как (п°94, стр. 258—259)

где, как и раньше, — углы, образованные ориентированной нормалью к поверхности с осями — углы, образованные с этими осями ориентированной касательной к линии