§ 6. ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ГРИНА И СЛЕДСТВИЯ ИЗ НЕЕ

Введение ориентации линий и поверхностей позволяет при помощи простых формул связать между собой интегралы, взятые по ориентированной поверхности (и, в частности, по плоской области) и по пространственной области, с интегралами, взятыми по границам; этих областей интегрирования. Такие формулы служат преобразования интегралов одного типа в интегралы" другого типа.

98. Основная формула Грина.

Начнем с простейшей формулы — так называемой основной формулы Грина, в которой связаны двойной и криволинейный интегралы.

Теорема. Имеет место следующая формула:

называемая основной формулой Грина. Здесь функции точки плоской области непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка, а линия I — граница области Ориен тации области и ее границы I согласованы между собой в смысле (стр. 257), так что если в области берется верхняя сторона, т. е. интегралом слева служит просто двойной интеграл, то интегрирование по линии I происходит в положительном направлении.

Доказательство. Предположим сначала, что область односвязная, ограниченная линией пересекающейся с координатными линиями не более чем в двух точках (черт. 31). Возьмем двойной интеграл:

считая, что интегрирование по области происходит по верхней стороне. Интегрируя по , а затем по получим:

где -уравнение линии — уравнение линии — интервал оси в который ортогонально проектируется область (и линия ). Выполнив внутреннее интегрирование, будем иметь:

Но правая часть является выражением для криволинейного интеграла по координате от функции взятого по контуру I в направлении т. е. в отрицательном направлении. Итак,

где контур проходится в положительном направлении.

Подобным же образом убедимся в справедливости равенства

Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим формулу Грина (4.11),

Черт. 31.

Мы не исключаем того, что линия содержит отрезки прямых, параллельных осям координат; в доказательстве при этом ничего не изменится, ибо части криволинейных интегралов относящиеся соответственно к отрезкам прямых равны нулю, так как на них или

Теперь легко показать, что формула (4.11) справедлива для любой односвязной области . В самом деле, если область не удовлетворяет оговоренному вначале услозию, а именно, что с координатными линиями ее граница пересекается не более чем в двух точках, то область можно разбить на такие части, которые уже будут удовлетворять этому условию; тогда, сложив все равенства (4.11), относящиеся ко всем указанным частям, получим, в силу аддитивности двойного интеграла и специального свойства криволинейного интеграла (см. п° 91,III), равенство (4.11), относящееся ко всей заданной области

Наконец, допустим, что область многосвязна. Формула Грина остается справедливой и при этом, но следует помнить, что криволинейный интеграл берется в положительном направлении по всему контуру, т. е. так, чтобы область оставалась слева, а для этого внешний контур обходится в направлении против движения часовой стрелки, а внутренние контуры — по направлению этого движения. Возьмем, например, случай двусвязной области (черт. 32). Соединим внешний контур с внутренним контуром линейным «разрезом» (это значит, что линию у мы исключаем из области присоединяем ее к границе области). Мы получаем односвязную область ограниченную контуром Так как для нее формула (4.11) доказана, то можно написать:

Черт. 32.

Ввиду того, что при интегрировании разрез 7 проходится дважды в противоположных направлениях и исключение этого разреза из области не оказывает влияния на значение двойного интеграла, то

причем под понимается весь контур, ограничивающий область (на черт. 32: ).

Итак, формула Грина полностью доказана. Ясно, что она верна и для сходящихся несобственных интегралов.

Если положить то из формулы Грина

откуда находим выражение для площади плоской области через криволинейный интеграл по границе области:

Придадим формуле Грина другой вид, в некоторых отношениях более удобный, чем вид формулы (4.11). Заменив в этой формуле получим:

Так как то

где — углы, которые образует с осями нормаль к контуру направленная внутрь контура. Меняя направление нормали, мы и придем к другому вполне «симметричному» виду формулы Грина, который мы и хотели получить:

Следует помнить, что в обеих частях равенства интегралы берутся по мер нормаль берется внешняя. Формула Грина в виде (4.13) непосредственно переносится для пространства (см. формулу (4.23)).