46. Ортогональность системы.

В том случае, когда всякие две координатные поверхности (линии) из различных систем пересекаются под прямым углом, система криволинейных координат в пространстве называется прямоугольной или ортогональной. (Криволинейные ортогональные координаты иногда обозначают буквами или или Обычно употребляются лишь ортогональные системы криволинейных координат.

Выясним условия ортогональности системы (2.19) к затронем некоторые метрические вопросы, в частности найдем выражения для элемента длины, элемента площади поверхности и элемента объема в криволинейных ортогональных координатах. Эти выражения могут часто понадобиться в дальнейшем.

Возьмем точку с криволинейными координатами Уравнение касательной плоскости к координатной поверхности очевидно, есть (II, 166)

Аналогично уравнения

суть уравнения касательных плоскостей в точке соответственно к координатные поверхностям:

Икея эти уравнения, легко получаем условия (считая точку Р произвольной) взаимной (попарной) перпендикулярности касательных плоскостей (т. е. ортогональности системы):

(см., например, И. И. Привалов, Аналитическая геометрия). Эти равенства удобно записать с помощью символа

обозначающего здесь сумму трех слагаемых: выражения, заключенного в скобки, и подобных ему, получающихся заменой сначала на у, а затем на

Однако нам удобно иметь условия ортогональности системы и в другом виде, отличном от вида условий (2.20). Для этого будем исходить не из системы функций (2.19), а из системы функций обратной ей:

Считая в равенствах получим параметрические уравнения соответствующих координатных поверхностей, а полагая получим параметрические уравнения соответствующих координатных линий, проходящих через точку

Уравнения касательной прямой к линии в точке таковы:

Написав еще аналогичные уравнения касательных прямых к координатным линиям в точке найдем условия взаимной (попарной) перпендикулярности координатных линий (считая точку произвольной):