23. Регулярные отображения.
Отметим один употребительный и важный частный класс отображений (1.6). Предположим, что аффинное отображение, к которому в бесконечно малой области данной точки 
сводится отображение 
обладает свойством преобразовывать окружности в окружности (п° 18). Тогда должно быть
при сохранении направления вращения или
при изменении направления вращения. Можно сказать, что такое отображение преобразует бесконечно малые окружности с центром в точке 
в бесконечно малые окружности. Если это обстоятельство имеет место для всякой точки 
области 
в которой определено отображение, то в области 
тождественно будем иметь
Короче это записывают так:
или
Допустим, что функции и и 
дважды непрерывно дифференцируемы; тогда дифференцируя первые из равенств 
по 
, а вторые — по 
, находим:
Складывая почленно эти соотношения и принимая во внимание известную теорему о равенстве вторых смешанных частных производных, получим так называемое уравнение Лапласа:
Аналогично получим:
Итак, наши функции и и 
удовлетворяют уравнению Лапласа.
Определение. Дважды непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими.
Определение. Отображения, устанавливаемые гармоническими функциями, подчиненными условиям (1.21), назовем регулярными (или правильными) I рода, а подчиненными условиям 
-регулярными (или правильными) II рода.
Таким образом, можно сказать что вообще регулярными называются дважды непрерывно дифференцируемые отображения, которые преобразуют всякую бесконечно малую окружность в бесконечно малую же окружность. (Это значит, что отклонения (например, по нормалям) от окружности замкнутой линии, в которую отображается данная бесконечно малая окружность, суть бесконечно малые величины порядка высшего, чем радиус окружности-прообраза.)
Якобиан регулярного отображения равен:
Так как при регулярном отображении соответствующие аффинные отображения суть отображения подобия, то всякая бесконечно малая область, взятая в окрестности точки, в которой якобиан отличен от нуля, преобразуется в подобную область с коэффициентом подобия, равным корню квадратному из модуля якобиана в указанной точке (т. е. корню квадратному из коэффициента искажения). Значит, мы еще можем сказать, что вообще регулярные отображения преобразуют всякую бесконечно малую область в подобную бесконечно малую область. Это обстоятельство выражают, говоря, что регулярные отображения обладают свойством конформности (т. е. подобия) (если только якобиан отличен от нуля). Конечно, справедливо и обратное предложение: отображение, обладающее во всякой бесконечно малой области свойством конформности, т. е. преобразующее такую область в подобную ей бесконечно малую область, является регулярным.
Из сказанного с очевидностью следует, что: 1) отображение, обратное регулярному отображению, будет также регулярным; 2) суперпозиция регулярных отображений будет также регулярным отображением. (Об аналитическом доказательстве см. § 7.)
Оказывается, что регулярные отображения представляют собой обширный и весьма важный класс отображений, имеющий широкие применения в различных прикладных науках. Мы здесь не будем дальше развивать их теорию, так как это проще и короче может быть сделано на основе изучения регулярных функций комплексной переменной величины.
