21. Обобщение.
Справедливо следующее предложение, более общее, чем сформулированное выше:
Модуль якобиана отображения, гомеоморфного в точке, показывает с точностью до бесконечно малых величин высших порядков, во сколько раз изменяется при отображении площадь бесконечно малой области, содержащей (внутри или на границе) данную точку.
Ход рассуждений здесь может быть, например, таким. Доказываем сначала, что предел отношения площади образа любого треугольника с вершиной в данной точке к площади этого треугольника при стремлении к нулю всех его измерений равен модулю якобиана. Это доказательство не представляет затруднений: оно проводится точно так же, как и в изложенном выше частном случае, когда две стороны треугольника параллельны осям координат (три вершины треугольника 
теперь характеризуются координатами 
причем 
стремятся к нулю). Далее, обнаруживаем, что тот же предел имеет и отношение площадей образа
к прообразу, когда последним служит 
-угольник. Действительно, для каждого из 
треугольников с вершиной в данной точке 
составляющих многоугольник, имеем:
где 
— площадь 
треугольника, 
— площадь его отображения, 
— коэффициент искажения в точке 
— бесконечно малая величина высшего порядка. Складывая 
таких равенств, найдем:
где 
— площадь многоугольника, 
— площадь его отображения, 
— бесконечно малая величина высшего порядка (важным обстоятельством является независимость порядка бесконечно малой 
от числа 
сторон многоугольника). Отсюда и следует, что
Наконец, убеждаемся, что предел отношения площади образа к площади прообраза при стягивании этого прообраза к точке 
всегда равен 
. В самом деле, запишем:
где 
— площадь данной области, 
— площадь ее образа, 
— площадь многоугольника, вписанного в данную область, 
— площадь его образа. Отношение 
при достаточно сильном стягивании области к точке 
как угодно близко к 
(независимо от числа сторон многоугольника), 
как угодно близки к 
при достаточно хорошем приближении вписанного в область многоугольника к самой области (что достигается подходящим увеличением числа сторон многоугольника и неограниченным уменьшением наибольшей из сторон). Поэтому отношение 
может быть сделано как угодно близким к 
, а это и значит, что при стягивании области к точке 
